Chủ đề này có 2 trả lời

[BearBean]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3$

Tìm max của : $M=x^2+y^2+z^2$

[25 minutes]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3$

Tìm max của : $M=x^2+y^2+z^2$

Áp dụng AM-GM ta có :  

        $x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1 \geq 1013\sqrt[1013]{x^{2026}}=1013x^2$, có $1011$ số $1$

 $\Rightarrow 2x^{2013}+1011\geq 1013x^2$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng vào ta có 

        $\Rightarrow 2\sum x^{2013}+3033\geq 3039x^2$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 3$

[banhgaongonngon]

Theo bất đẳng thức Holder ta có

$3^{2011}(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013})^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2013}\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3$