Chủ đề này có 1 trả lời

[jb7185]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $y+z=x(y^2+z^2)$.

Tìm GTNN $P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

[nthoangcute]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $y+z=x(y^2+z^2)$.

Tìm GTNN $P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

 

Đề thi phân ban lần 4 của THPT Chuyên Thái Bình (lớp 12)
Ta thấy giả thiết có:
$$y+z=x(y^2+z^2) \geq \frac{1}{2}x(y+z)^2$$
Suy ra $y+z \leq \frac{2}{x}$
Vậy $$\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \geq \frac{2}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{2}{ \frac{(2+y+z)^2}{4}} \geq \frac{2x^2}{(x+1)^2}$$
$$\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq \frac{4x^2}{(1+x)^3}$$
Suy ra $$P \geq \frac{1+x+6x^2+2x^3}{(1+x)^3}= \frac{(5x+17)(5x-1)^2}{108(1+x)^3}+\frac{91}{108} \geq \frac{91}{108}$$