Chủ đề này có 1 trả lời

[huyentrang97]

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh:

$\frac{1}{a^{2014}}+\frac{1}{b^{2014}}+\frac{1}{c^{2014}}\geq \frac{4^{2014}}{(2a+b+c)^{2014}}+\frac{4^{2014}}{(a+2b+c)^{2014}}+\frac{4^{2014}}{(a+b+2c)^{2014}}$

[Poseidont]

Ta có bổ đề sau Với $a_i, m_i> 0$ , $k\in N$ và $k>1$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n}a_i)^k}$ (*)

Khi $n=2$ (*) đúng

Giả sử (*) đúng với $k\in N$ và $k\geq 2$

$\frac{m_1^k}{a_1^{k-1}}+\frac{m_2^k}{a_2^{k-1}}\geq \frac{(m_1+m_2)^k}{(a_1+a_2)^{k-1}}$

Chứng minh quy nạp (*) đúng với $n$ thì cũng đúng vơi $n+1$

Ta có

$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}+\frac{m_{n+1}^k}{a_{n+1}^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n}a_i)^{k-1}}+\frac{m_{n+1}^k}{a_{n+1}^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n+1}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n+1}a_i)^{k-1}}$

Áp dụng

$\frac{1^{2015}}{a^{2014}}+\frac{1^{2015}}{a^{2014}}+\frac{1^{2015}}{b^{2014}}+\frac{1^{2015}}{c^{2014}}\geq \frac{4^{2015}}{(2a+b+c)^{2014}}$

....

$\Rightarrow 4VT\geq 4VP$

ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 05-04-2013 - 21:53