Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$

Tìm Min và max của $H_A=2(x^2+y^2+z^2)+xyz$

[khong la gi ca]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$

Tìm Min và max của $H_A=2(x^2+y^2+z^2)+xyz$

 

Từ giả thiết áp dụng bđt AM-GM cho ta

$x + y + z = 3 \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow 0 \leq xyz \leq 1$

Cũng từ bđt AM-GM ta được

$xy + yz + zx \geq \sqrt[3]{(xyz)^{2}}$

 

$H_A = 2 \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) + xyz = 2 \left( x + y + z \right) ^{2} - 4 \left ( xy + yz + zx \right) + xyz$

$\leq 18 - 12\sqrt[3]{(xyz)^{2}} + xyz $

Xét hàm số $f(t) = t^{3} - 12t^{2} + 18$ với $t \in [0,1]$

$f'(t) = 3t^{2} - 24t = 3t\left(t-8\right) \leq 0 \forall t \in [0,1]$

suy ra $f(t) \leq f(0) = 18$

Vậy $(H_A)_{max} = 18$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left \{\begin{matrix} x+y+z=3\\ xyz=0\\ xy+yz+zx=0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (x,y,z)$ là một trong các bộ số $(3,0,0), (0,3,0) , (0,0,3)$

 

$H_A = 2 \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) + xyz = 2 \left( x + y + z \right) ^{2} - 4 \left ( xy + yz + zx \right) + xyz$

$= 18 - 4 \left ( xy + yz + zx \right) + xyz$

Theo bđt Schur ta có

$x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) \geq 0$

Nếu đặt $p = x + y + z = 3, q = xy + yz + zx, r =xyz$ thì ta chứng minh được

$r \geq \frac{p(4q - p^{2})}{3} = \frac {4q - 9}{3}$

Từ đó cho ta

$H_A \geq 18 - 4q + \frac {4q - 9}{3} = 15 - \frac {8q}{3}$

Mà ta cũng có $q = xy + yz + zx \leq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2} = 3$

Suy ra $H_A \geq 15 - 8 = 7$

Vậy $(H_A)_{min} = 7$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left \{\begin{matrix} x+y+z=3\\ xyz=1\\ xy+yz+zx=3 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (x,y,z) = (1,1,1)$