1/Cho hình bình hành ABCD . Qua A kẻ đường thẳng cắt BD , BC , CD lần lượt ở E , K , G . Chứng minh rằng :
a) $AE^2=EK.EG$
b) $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$
c) Khi đường thằng qua A thay đổi thì tích BK.DG không đổi.
$a)$ Ta có:
$\frac{AE}{KE}=\frac{DE}{BE}$ $(Thales)$
$\frac{GE}{AE}=\frac{DE}{BE}$ $(Thales)$
Do đó: $\frac{AE}{KE}=\frac{GE}{AE}$
$\Rightarrow AE^2=EK.EG$
$b)$ Ta có:
$\frac{AE}{KE}=\frac{DE}{BE}$ $\Rightarrow \frac{AE}{KE+AE}=\frac{DE}{BE+DE}$ $\Rightarrow \frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}$
$\frac{AE}{GE}=\frac{BE}{DE}$ $\Rightarrow \frac{AE}{GE+AE}=\frac{BE}{DE+BE}$ $\Rightarrow \frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$
Do đó: $\frac{AE}{KE}+\frac{AE}{GE}=\frac{BE+DE}{BD}=1$
$\Rightarrow \frac{1}{KE}+\frac{1}{GE}=\frac{1}{AE}$
$c)$ Ta có:
$\frac{DG}{CG}=\frac{AD}{CK}$
$\frac{CK}{BK}=\frac{CG}{AB}\Rightarrow BK.CG=CK.AB$
Do đó:
$\frac{DG}{CG}.BK.CG=\frac{AD}{CK}.CK.AB$
$\Rightarrow BK.DK=AB.AD=const$
2/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm M , kẻ BD vuông góc CM . BD cắt CA ở E . Chứng minh rằng :
a) EB.ED=EA.EC
b)$BD.BE=CA.CE=BC^2$
c) $\widehat{ADE}=45^{\circ}$
$a)$ $\bigtriangleup ABE\sim \bigtriangleup DCE\ (g.g)$
$\Rightarrow \frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}\Rightarrow AE.CE=BE.DE$
$b)$ Câu này hình như sai đề 
$c)$ Ta có:
$\bigtriangleup ABE\sim \bigtriangleup DCE\ (g.g)$
$\Rightarrow \frac{BE}{CE}=\frac{AE}{DE}$
Từ đó chứng minh được $\bigtriangleup BCE\sim \bigtriangleup ADE\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{BCE}=45^{\circ}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-04-2013 - 12:27
