Chủ đề này có 4 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 KHỐI 11 NĂM HỌC 2012-2013

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x+3y^2-2y=0 \\ 36(x\sqrt{x}+3y^3)-27(4y^2-y)+(2\sqrt{3}-9)\sqrt{x}-1=0 \end{cases}$$

Câu 2: Cho dãy số $$(x_n): \begin{cases}x_1=1 \\ x_{n}=\dfrac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18} \end{cases}$$
Tính $x_{2013}$ và tìm $\lim x_n$.

Câu 3: Cho tam giác ABC có $AB=3,BC=5,CA=7$. Một đường thẳng di động qua tâm nội tiếp I cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\dfrac{BM.CN}{AM.AN}$.

Câu 4: Tìm hàm số $f,g: R \to R$ thoả $$\begin{cases} f(x-1)+g(2x+1)=2x \\ f(2x+2)+2g(4x+7)=x-1 \end{cases} \ \forall x \in R$$

Câu 5: Cho $x \in R$ thoả $\{ x \} = \{ x^2 \} = \{ x^{2013} \}$. Chứng minh $x \in Z$, với $\{ x \}$ là phần lẻ của số thực $x$.

Câu 6: Có 2 đống sỏi $n$ viên và $k$ viên. Mỗi lần được chọn 1 đống sỏi có số sỏi là chẵn và đem $\dfrac{1}{2}$ số sỏi ở đống này qua đống kia. Nếu 2 đống sỏi đều có chẵn viên thì có thể chọn ngẫu nhiên 1 trong 2. Nếu 2 đống sỏi đều có lẻ viên thì không được chọn nữa. Tìm số bộ sắp thứ tự $(n,k)$ để hai đống sỏi có lẻ viên sau hữu hạn lần chọn

 

Nguồn: Mathscope.org

[chinhanh9]

Câu 2: Cho dãy số $$(x_n): \begin{cases}x_1=1 \\ x_{n}=\dfrac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18} \end{cases}$$
Tính $x_{2013}$ và tìm $\lim x_n$.
 

 

Xét hệ phương trình sai phân:

$$\left\{\begin{matrix} y_1= z_1=1 & \\ y_{n+1}=-14y_n-51 & \\ z_{n+1}=5y_n+18z_n & \end{matrix}\right.$$

Giải hệ trên, ta được:

$$\left\{\begin{matrix} y_n=34-11.3^n & \\z_n=-10+11.3^{n-1} & \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow x_n=\frac {y_n}{z_n}=\frac {34-11.3^n}{-10+11.3^{n-1}}$$

$$\Rightarrow x_{2013}=\frac {34-11.3^{2013}}{-10+11.3^{2012}}$$

và 

$$\lim x_n=\lim \frac {34-11.3^n}{-10+11.3^{n-1}}=\lim \frac {\frac{34}{3^n}-11}{\frac{-10}{3^n}+\frac{11}{3}}= -3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhanh9: 06-04-2013 - 21:03

[Ispectorgadget]

File PDF đề 11

 

 

 de thi 30.4 lop 11-2013.pdf   122.43K   333 Số lần tải

[khong la gi ca]

Câu 4: Tìm hàm số $f,g: R \to R$ thoả $$\begin{cases} f(x-1)+g(2x+1)=2x \\ f(2x+2)+2g(4x+7)=x-1 \end{cases} \ \forall x \in R$$

 

Cho $y = x - 1$ thì ta có

$f(y) + g(2y+3) = 2y + 2$ hay $f(x) + g(2x+3) = 2x + 2 (1)$

Tương tự nếu cho $y =2x + 2$ thì ta sẽ suy ra được

$f(x) + 2g(2x+3) = \frac{1}{2}x - 2 (2)$

Lấy $(2) - (1)$ ta được

$g(2x+3) = -\frac{3}{2}x - 4$

suy ra được $g(x) = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$

Thay $g(2x+3) = -\frac{3}{2}x - 4$ vào $(1)$ cho ta

$f(x) = \frac{7}{2} + 6$

Thử lại thấy $f, g$ thõa mãn yêu cầu bài toán với mọi $x$

Vậy

$f(x) = \frac{7}{2} + 6\\g(x) = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$

[BlackSelena]

Câu 5: Cho $x \in R$ thoả $\{ x \} = \{ x^2 \} = \{ x^{2013} \}$. Chứng minh $x \in Z$, với $\{ x \}$ là phần lẻ của số thực $x$.

Spoiler

Làm liều coi ...

Do $\{ x^2 \} = \{ x \}$ nên tồn tại số nguyên $k$ sao cho $x^2 - x = k$

$\Leftrightarrow x^2 - x - k$

Ta sẽ chứng minh phương trình này không có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ, thật vậy:
$\Delta = 4k + 1$
Nếu $\Delta$ là scp thì hiển nhiên ta có đpcm

Xét trường hợp $\Delta$ không là số chính phương, giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ, nhưng khi đó điều này lại vô lý do $\Delta$ mà không chính phương thì $\sqrt{\Delta}$ cũng không phải số hữu tỉ, tức nghiệm của phương trình không hữu tỉ.

Vậy xét trường hợp $x$ là số vô tỉ.

Ta có $x^2 = x+k$

$\Rightarrow x^3 = x^2 + kx = x + k + xk = k + x (k+1) = ax + b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$

Vậy ta viết được $x^{2013}$ dưới dạng $ax + b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$
Mặt khác $\{ x \} = \{ x^2 \} = \{ x^{2013} \}$ nên tồn tại số nguyên $c$ sao cho $x^{2013}  = x + c$
$\Leftrightarrow ax + b = x + c$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{b-c}{1-a}$

Đây là số hữu tỉ, trái với trường hợp ta đang xét.
Vậy ta có đpcm !
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 12-04-2013 - 21:47