Chủ đề này có 2 trả lời

[share_knowledge]

Cho hai số phức z,w thỏa mãn $\left | z \right |=\left | w \right |\neq 0$. Chứng minh rằng $\frac{z+w}{\left | z \right |^{2}+zw}$ là số thực.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi share_knowledge: 09-04-2013 - 17:23

[PT42]

Đặt z = a + bi, w = c + di với a, b, c, d $\varepsilon \mathbb{R}$. Vì $\left | z \right | = \left | w \right |$ nên $a^{2} + b^{2}$ = $c^{2} + d^{2}$

Ta có $\frac{z + w}{\left | z \right |^{2} +zw}$ = $\frac{(a+c) + (b+d)i}{(a^{2}+b^{2} +ac - bd) + (ad +bc)i}$ =  $\frac{((a+c) + (b+d)i) ((a^{2}+b^{2} +ac - bd) - (ad +bc)i)}{((a^{2}+b^{2} +ac - bd) + (ad +bc)i) ((a^{2}+b^{2} +ac - bd) - (ad +bc)i))}$

( đặt ) = $\frac{A + Bi}{C}$ với $A, B, C \varepsilon \mathbb{R}$

 

Trong đó B = - (a+c) (ad +bc) + (b+d) ($(a^{2}+b^{2} +ac -bd)$ 

                  = $- a^{2}d - acd - abc - bc^{2}$  + $a^{2}b +a^{2}d +b^{3} + b^{2}d+ abc + acd - b^{2}d - bd^{2}$

                  = $-bc^{2} + a^{2}b + b^{3} - bd^{2}$ = b( $a^{2} +b^{2} - c^{2}-d^{2}$ ) = 0

$\Rightarrow$ $\frac{z + w}{\left | z \right |^{2} +zw}$ là số thực

[robin997]

Cho hai số phức z,w thỏa mãn $\left | z \right |=\left | w \right |\neq 0$. Chứng minh rằng $S=\frac{z+w}{\left | z \right |^{2}+zw}$ là số thực.

-Trước hết, ta có: $|a|^2=a\bar{a}\in R$ $\forall a\in C$ và $a+\bar{a}\in R$
$S=\frac{z+w}{\left | z \right |^{2}+zw}=\frac{z+w}{\left | w \right |^{2}+zw}=\frac{z+w}{z(\bar{z}+w)}=\frac{z+w}{w(\bar{w}+z)}$
$S|z|^2=S|w|^2=\frac{\bar{z}(z+w)}{\bar{z}+w}=\frac{\bar{w}(z+w)}{\bar{w}+z}=\frac{z\bar{z}+w\bar{w}+(w\bar{z}+z\bar{w})}{(z+\bar{z})+(w+\bar{w})}\in R$ (Dãy tỉ số bằng nhau)
Mà $|z|\in R\Rightarrow S\in R$ (đpcm)