Chủ đề này có 1 trả lời

[TranLeHoang]

Xét $x,y,z$ thỏa mãn:

$x^2+y^2+z^2=2012$

Tìm giá trị nhỏ nhất $M=2xy-yz-zx$

[nguyenluongthinh11091998]

$* Ta  có$ : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)$ 

$\Leftrightarrow 2012 = (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)= (x+y+z)^{2} - 2012 \geqslant -2012$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz \geqslant -1006$$.$$Dấu "=" xảy  ra\Leftrightarrow x+y+z=0$

$* Mặt  khác$ $:$ $ x^{2}+y^{2}+ 2xy \geqslant 0 \Leftrightarrow  \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \geqslant -xy \Leftrightarrow xy \geqslant -  \frac{x^{2}+y^{2}}{2}$

$ Vậy  M=xy + xy + yz + xz \geqslant -1006 - \frac{x^{2}+y^{2}}{2}$

$ Mà  x^{2} + y^{2} \leq  x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2012$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \geqslant 1006$

$ Vậy M  \geqslant -1006 -1006 = -2012 .$

$ Kết  Luận : Min(M) = -2012 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \\ x^{2}+y^{2} +z^{2} = 2012 \\ z=0 \\ x+y = 0\end{matrix}\right. $$\Leftrightarrow x=\sqrt{1006} ; y = - \sqrt{1006} ; z=0$