Chủ đề này có 1 trả lời

[disonline]

 Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+3y-z+2=0$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Gọi d là giao tuyến của $(P)$và $(Q)$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho đoạn thẳng $OM$ nhỏ nhất.

[hoangtrong2305]

 Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+3y-z+2=0$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Gọi d là giao tuyến của $(P)$và $(Q)$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho đoạn thẳng $OM$ nhỏ nhất.

 

Ta có $I(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ là trung điểm $AB$

 

$\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-1)$

 

Có $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ là VTPT của $(P)$

 

$\Rightarrow (P):2x+2y+2z+3=0$

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} C(-\frac{5}{4};-\frac{1}{4};0)\\ D(-\frac{7}{4};0;\frac{1}{4}) \end{matrix}\right.\in (d)$

 

$\overrightarrow{CD}=(-\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{4})$

 

Vậy $\overrightarrow{a}=(-2;1;1)$ là VTCP của $(d)$

 

$\Rightarrow (d):\left\{\begin{matrix} x=-\frac{5}{4}-2t\\ y=-\frac{1}{4}+t\\ z=t \end{matrix}\right.;t \in \mathbb{Z}$

 

$M \in (d)\Rightarrow M(-\frac{5}{4}-2t;-\frac{1}{4}+t;t)$

 

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(-\frac{5}{4}-2t;-\frac{1}{4}+t;t)$

 

$\Rightarrow OM=\sqrt{6t^{2}+\frac{9}{2}t+\frac{13}{8}}\geq \frac{5\sqrt{2}}{8}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow t=-\frac{3}{8}$