Vào hồi 21h, Thứ Sáu, ngày 12/04/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.
Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.
BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.
2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm
[MSS2013] - Trận 26 - PT, HPT
#1
Posted 12-04-2013 - 20:42
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Posted 12-04-2013 - 20:48
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan- daovuquang, NLT, vutuanhien and 5 others like this
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#3
Posted 12-04-2013 - 21:07
Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3xy({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=0(1) \\
x+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}=1(2) \\
\end{matrix} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow ({{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}})-3xy({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy)=0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}^{2}}-3xy{{(x-y)}^{2}}=0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}{{(x+y)}^{2}}-3xy{{(x-y)}^{2}}=0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)=0$
Xét 2 TH:
TH1: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=0\Leftrightarrow {{(x-\frac{y}{2})}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}=0\Leftrightarrow x=y=0$
Thay $x=y=0$ vào PT $(2)$, ta thấy phương trình vô nghiệm.
TH2: $x=y$
Thay $x=y$ vào phương trình $(2)$, ta có:
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow x+{{x}^{3}}+{{x}^{3}}-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=1\Leftrightarrow x=1$
Vậy $x=y=1$
Thử lại thấy đúng
Vậy HPT có 1 cặp nghiệm $x=y=1$
Bài làm còn lỗi Latex
Điểm bài 10
S = 26 + 10*3 = 56
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:46.
Chấm bài
#4
Posted 12-04-2013 - 21:08
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Bài làm :
Từ phương trình đầu
$x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0$
$\Leftrightarrow x^4+y^4 +6x^2y^2 -4xy(x^2+y^2) +xy(x^2+y^2)-2x^2y^2 =0$
$\Leftrightarrow (x-y)^4 +xy[(x-y)^2+2xy) -2x^2y^2 =0$
$\Leftrightarrow (x-y)^4 +xy(x-y)^2 =0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2[(x-y)^2 +xy)] =0$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x^2 -xy+y^2 =0$
Mà $x^2 +y^2 -xy =(x-\frac{1}{2}y)^2 +\frac{3y^2}{4} > 0 \forall x,y$
$\Rightarrow x=y$
Thay vào pt 2 $x +x^3 +x^2y -xy^2 -y^3 =1$
$\Rightarrow x=1 \Rightarrow x=y=1$
Chỗ màu đỏ chưa chính xác
Điểm bài: 9
S = 26+9*3 = 53
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:47.
Chấm bài
#5
Posted 12-04-2013 - 21:08
Bài làm của daovuquang:
Theo giả thiết, ta có hệ: $\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$
tương đương với $\begin{cases} (x-y)^2(x^2-xy+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1\; (*) \end{cases}$
Trường hợp 1: $(x-y)^2=0 \Leftrightarrow x=y$
Thay vào $(*)$, ta có: $x+x^3+x^3-x^3-x^3=1$
$\Leftrightarrow x=1$.
Suy ra $x=y=1$.
Trường hợp 2: $x^2-xy+y^2=0$
$\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}$ và $\frac{3y^2}{4}=0$ (do vế trái $\geq 0$ nên dấu đẳng thức phải xảy ra)
$\Leftrightarrow x=y=0$.
Khi đó ta thay vào $(*)$ thì lại có $0=1 \Rightarrow$ loại.
Kết luận: Vậy $x=y=1$.
Điểm bài 10
S = 26 + 10*3 = 56
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:48.
Chấm bài
- Trang Luong and ineX like this
#6
Posted 12-04-2013 - 21:21
Xét $x=0$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $y=-1$
Với $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình $(1)$ không thỏa mãn
Tương tự xét $y=0$ cũng không thỏa mãn
Với $x,y\neq 0$
Ta có: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ x^{4}+y^{4}-xy(x^{2}+y^{2}) \right ]+4x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}-y^{3})(x-y)-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right.$
(Vì $x^{2}-xy+y^{2}=\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}y^{2}> 0\forall x;y\neq 0$)
Với $x=y$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow x=y=1$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$ là $(1;1)$
Điểm bài 10
S = 25 + 10*3 = 55
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:49.
Chấm bài
- Trang Luong likes this
#7
Posted 12-04-2013 - 21:26
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Biến đổi từ phương trình thứ nhất :
$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-xy(x^{2}+y^{2})-[2xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}]=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy)-2xy(x^{2}+y^{2}-xy)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-2xy)(x^{2}+y^{2}-xy)=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$
Xét trường hợp: $x^{2}+y^{2}-xy=0$$\Leftrightarrow x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}=0\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$
Mà dễ thấy VT>0 $\Rightarrow$ $x^{2}+y^{2}-xy\neq 0$
$\Rightarrow (x-y)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y$
Thế vào phương trình hai ta có:
$x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 \Leftrightarrow x+x^{3}+x^{2}.x-x.x^{2}-x^{3}=1$
$\Leftrightarrow x=1$
Vậy phương trình có nghiệm x=y=1
Chỗ màu đỏ sai.
Điểm bài 9
S = 25 + 9*3 = 52
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:50.
Chấm bài
- Trang Luong likes this
#8
Posted 12-04-2013 - 21:26
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 (1) \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 (2) \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Bài làm của MSS01-BlackSelena:
Từ phương trình $(2)$ ta nhận thấy $x=y = 0$ không phải là nghiệm
Viết lại phương trình $(1)$:
$x^4+y^4 + 4x^2y^2 - 3xy(x^2+y^2) = 0$
$\Leftrightarrow x^4+y^4 - 4x^3y - 4xy^3 + 6x^2y^2 + y(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + y^2(x^2-2xy+y^2) = 0$
$\Leftrightarrow (x-y)^4 + y(x-y)^3 + y^2(x-y)^2 = 0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2[y^2 + y(x-y) + (x-y)^2] = 0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2(x^2-xy + y^2) = 0$
Lại có $x^2 -xy + y^2 = (x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3}{4}y^2 > 0$ do $x,y \neq 0$
Vậy $x=y$, thay vào phương trình $(2)$, ta có $x=1$.
Kết luận: $x=y=1$ là nghiệm của hệ phương trình
Điểm bài 10
S = 25 + 10*3 = 55
Edited by E. Galois, 18-06-2013 - 09:51.
Chấm bài
- Trang Luong likes this
#9
Posted 12-04-2013 - 21:27
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Biến đổi từ phương trình thứ nhất :
$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-xy(x^{2}+y^{2})-[2xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}]=0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy)-2xy(x^{2}+y^{2}-xy)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-2xy)(x^{2}+y^{2}-xy)=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$
Xét trường hợp: $x^{2}+y^{2}-xy=0$$\Leftrightarrow x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}=0\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$
Mà dễ thấy VT>0 $\Rightarrow$ $x^{2}+y^{2}-xy\neq 0$
$\Rightarrow (x-y)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y$
Thế vào phương trình hai ta có:
$x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 \Leftrightarrow x+x^{3}+x^{2}.x-x.x^{2}-x^{3}=1$
$\Leftrightarrow x=1$
Vậy phương trình có nghiệm x=y=1
#10
Posted 12-04-2013 - 21:33
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Bài làm của babystudymaths:
Gọi 2 phương trình đã cho từ trên xuống dưới là (1) và (2),biến đổi(1),ta có
$x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})= 0\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}+6x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})= 0\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}-3xy(x-y)^{2}= 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+y^{2}-xy)=0$ từ đây suy ra x=y hoặc $x^{2}+y^{2}-xy= 0$
Nếu x=y,thay vào phương trình (2),ta có : $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}= 1\Leftrightarrow x=1$
Nếu $x^{2}+y^{2}-xy= 0$ $\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=0$,do các bình phương đều không âm suy ra $x=y=0$,thay vào (2) ta thấy 0=1,vô lí nên loại
Vậy hệ chỉ có duy nhất 1 nghiệm x=y=1
Toán thủ đã bị loại ở trận 18
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:22.
Chấm bài
TLongHV
#11
Posted 12-04-2013 - 21:44
ta có: $x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow (x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0$
xảy ra hai trường hợp:
+) nếu $(x-y)^{2}=0$ $\Rightarrow x=y$
thay vào hệ thứ hai ta có: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x= 1\Leftrightarrow x= y=1$
+) nếu $x^{2}-xy+y^{2}=0$, ta có: $x^{2}-xy+y^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+xy=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}=-xy\rightarrow xy\leq 0$
từ đây ta thấy hệ đầu tiên luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ( vì $a^{2}\geq0$ với mọi a). suy ra hệ thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi $xy=0$ và $(x-y)=0$. điều này xảy ra khi x=y=0
vậy phương trình có hai cặp nghiệm là x=y=0 và x=y=1
Toán thủ đã bị loại ở trận 25
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:25.
Chấm bài
B.F.H.Stone
#12
Posted 12-04-2013 - 22:05
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
ta có:$ x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x+y)=0\Leftrightarrow (x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}((x-y)^{2}+xy)$
Tới đây có hai trường hợp:
+) nếu $(x-y)^{2}=0$ ta có: $x=y\Rightarrow x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1\Leftrightarrow x= 1\Leftrightarrow x=y=1$( thử lại đúng, chọn)
+) nếu $(x-y)^{2}+xy=0$ ta có: $(x-y)^{2}=-xy$
từ đây suy ra $ x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x+y)=0\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}+3(x-y)^{2}(x^{2}+y^{2})=0$ xảy ra khi x=y=0 (thử với hệ thứ hai , loại)
vậy x=y=1
B.F.H.Stone
#13
Posted 13-04-2013 - 18:13
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
cách khác: chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $x^{2}y^{2}$ ta có: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=0\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=0$
đặt $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}\right )=a$ ta có:
$a^{2}-3a+2=0\Leftrightarrow (a-1)(a-2)=0$
suy ra a=1 hoặc a=2
+) nếu a=1, thay vào phương trình thứ nhất ta có: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=1\Rightarrow x^{2}+y^{2}=xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}=-xy$, tới đây thay vào ta có: $x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}+3(x-y)^{2}(x^{2}+y^{2})=0\Leftrightarrow x=y=0$
thay vào hệ thứ hai vô lý, loại
+) nếu a=2 ta có:$x^{2}+y^{2}=2xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}=0\Leftrightarrow x=y$.
thay vào hệ thứ hai ta có: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1$ nên y=1 .
thử lại đúng, chọn
Vậy phương trình có nghiệm x=y=1
B.F.H.Stone
#14
Posted 13-04-2013 - 20:19
Cách 1: Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}-4xy(x^{2}+y^{2})+4xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )^{4}-xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )^{4}-xy\left ( x-y \right )^{2}=0 & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}\left ( x^{2}+y^{2}+xy \right )=0 (1) & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=1 (2) & & \end{matrix}\right.$
Nhầm dấu, $x^{2}+y^{2}-xy = 0$
Từ phương trình $(1)\Rightarrow$ $x-y=0$ hoặc $x^{2}+y^{2}+xy=0$
Nếu $x-y=0\Rightarrow x=y$
Thay vào phương trình $(2)\Rightarrow 1= x+x^{3}+x^{2}y-y^{2}x-y^{3}=x+x^{3}+x^{3}-y^{3}-y^{3}=x\Rightarrow x=y=1$
Nếu $x^{2}+y^{2}+xy=0\Rightarrow x=y=0$
Thay vào phương trình (2) thì sai
Vậy $x=y=1$
Điểm bài: 7
S = 14+3*7 + 6 = 41
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:42.
Chấm bài
Issac Newton
#15
Posted 13-04-2013 - 20:36
Cách 2: Ta có
Nếu $xy=0$ không là nghiệm của phương trình.
Nếu $xy\neq 0$$xy\neq 0$
Ta có : $\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0(1) \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1(2) \end{cases}$
Chia cả 2 vế phương trình (1) cho $x^{2}y^{2}$
$(1)\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )=0(3)$
Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2(x,y\neq 0)$ với $\left | a \right |\geq 2$
Từ $(3)\Rightarrow a^{2}+2-3a=0\Leftrightarrow (a-2)(a-1)=0\Rightarrow a-2=0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\Rightarrow x=y=\pm 1$
Làm sao mà ra được -1?
Nếu $x=y=-1$ thay vào (2) thì sai
Nếu $x=y=1$ thay vào (2) đúng.
Vậy $x=y=1$
Nhận xét:
Chữ "Nếu" màu xanh là không chính xác. Câu đó cũng không chính xác.
Cần viết là: Dễ thấy nếu $xy=0$ thì $(x;y)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình.
Điểm bài 6
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:42.
Chấm bài
Issac Newton
#16
Posted 14-04-2013 - 16:06
$\left\{\begin{matrix}x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0(1) & & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1(2)& & \end{matrix}\right.$
Từ (1) suy ra : $x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})+2x^{2}y^{2}=0$
Đặt $x^{2}+y^{2}=a;xy=b$ , ta có
$a^{2}-3ab+2b^{2}=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0$
$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $a=2b$
Với a=b suy ra $x^{2}+y^{2}=xy\Leftrightarrow (x-(\frac{1}{2}y)^{2})+\frac{3}{4}y^{2}=0\Leftrightarrow x=y=0$
Thế vào (2) ta thấy không thỏa mãn$\Rightarrow$ loại
Với a=2b suy ra $x^{2}+y^{2}=2xy\Leftrightarrow x=y$
Thế vào (2) $\Rightarrow x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow x=y=1$
Toán thủ đã bị loại ở trận 25
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:44.
Chấm bài
#17
Posted 14-04-2013 - 19:44
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$$
Đề của
Nguyen Duc Thuan
Ta xét phương trình: $x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0$
$\Leftrightarrow x^4+y^4-2x^2y^2-3xy(x^2+y^2-2xy)=0$
$\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2-3xy(x-y)^2=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)^2-3xy(x-y)^2=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2[(x+y)^2-3xy]=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^2(x^2-xy+y^2)=0$
Mà ta thấy : $x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}> 0$
$\Rightarrow x-y=0$$\Leftrightarrow x=y$
Thay vào phương trình còn lại ta có :
$x+x^3+x^3-x^3-x^3=x=1$
$\Rightarrow y=x=1$
vậy hệ có nghiệm x=y=1
*Nhận xét: Bài hệ lần này chỉ cần biến đổi nhẹ ở phương trình thứ nhất rồi thay vào phương trình 2 là có kết quả. Bạn Nguyễn Đức Thuận cần có thêm vài sáng tạo để bài toán trở nên hay hơn nha!!
Toán thủ đã bị loại ở trận 24
Edited by E. Galois, 20-06-2013 - 09:45.
Chấm bài
Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !
#18
Posted 15-04-2013 - 22:45
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#19
Posted 15-04-2013 - 22:52
Có một số bạn quên chưa loại trường hợp $x=y=0$
#20
Posted 15-04-2013 - 23:00
Đáp án chính thức;
Đề bài: Giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$
Lời giải:
$\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0(1)\\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1(2) \end{cases}$
+) Nếu $x=0$ thì $(1)\Rightarrow y=0$ (Không thoả mãn (2))
+) Nếu $x\neq 0\Rightarrow y\neq 0$, chia cả 2 vế của (1) cho $x^2y^2$ ta được:
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+4=0$
Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$ $\left ( \left | a \right |\geq 2 \right )$
thế thì $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=a^2-2$
Phương trình trên trở thành:
$a^2-3a+2=0$
$\Leftrightarrow (a-1)(a-2)=0$
Mà $\left | a \right |\geq 2$ nên $a=2$
Do đó, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2$
$\Rightarrow x^2+y^2=2xy\Leftrightarrow (x-y)^2=0$
$\Leftrightarrow x=y$, thay vào (2) ta được $x=1$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users