Chủ đề này có 1 trả lời

[jb7185]

Giải các hệ phương trình:

1.$\left\{\begin{matrix} 2^{(x+1)^2}+2^{3y\sqrt{y-\frac{1}{x}+2}}(1-2^{x-y+1})=0\\ log_{3}(\frac{x^2-1}{y}+2)=1+\frac{1}{2}log_{3}(y-\frac{1}{x})\end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{1+2x^2y}-1=3x+2\sqrt{1-2x^2y}+\sqrt{1-x^2}\\ 2x^3y-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-2x^3y\sqrt{4y^2+1}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 14-04-2013 - 11:46

[thanhson95]

Giải các hệ phương trình:

2.$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{1+2x^2y}-1=3x+2\sqrt{1-2x^2y}+\sqrt{1-x^2}\\ 2x^3y-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-2x^3y\sqrt{4y^2+1}\end{matrix}\right.$

Đặt $2y=t$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{1+x^2t}-1=3x+2\sqrt{1-x^2t}+\sqrt{1-x^2}\\ x^3t-x^2=\sqrt{x^4+x^2}-x^3t\sqrt{t^2+1}\end{matrix}\right.$

i) Xét $x=0$ thì với mọi $y\in R$ hệ thoả mãn.

ii) Xét $x\neq 0$

Phương trình 2 tương đương

$x^3t(1+\sqrt{t^2+1})=x^2+\sqrt{x^4+x^2}$

 

$\Leftrightarrow t(1+\sqrt{t^2+1})=\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{x^4+x^2}}{x^3}$

 

$\Leftrightarrow t(1+\sqrt{t^2+1})=\frac{1}{x}(1+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1})$

Xét hàm số $f(u)=u(1+\sqrt{u^2+1})\Rightarrow f'(u)=1+\sqrt{u^2+1}+\frac{u^2}{\sqrt{u^2+1}}>0$ nên $f(u)$ đồng biến trên $R$. Suy ra $f(t)=f(\frac{1}{x})\Leftrightarrow t=\frac{1}{x}\Leftrightarrow xt=1$. Đem thế vào phương trình đầu tiên ta có phương trình

$4\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=3x+1+\sqrt{1-x^2}$

Đặt $2\sqrt{1+x}=a\wedge \sqrt{1-x}=b$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} 2a-2b=a^2+b^2-4+\frac{ab}{2}\\ a^2+4b^2=8 \end{matrix}\right.$

Mình chưa nghĩ ra cách nào khác ngoài sử dụng phép thế ghét cái dạng phương trình này quá! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhson95: 14-04-2013 - 15:01