Chủ đề này có 6 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thõa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+ab-a+5}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b^2+bc-c+5}}+ \dfrac{1}{\sqrt{c^2+ca-c+5}}$$

 

[buomdem]

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thõa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+ab-a+5}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b^2+bc-c+5}}+ \dfrac{1}{\sqrt{c^2+ca-c+5}}$$

Ta có $a^2+ab-a+5 \ge ab+a+4 \ge 2a\sqrt{b}+4.$

Đặt $a\sqrt{b}=x$, $b\sqrt{c}=y$, $c\sqrt{a}=z$. $xyz=1$, ta được bài toán quen thuộc:

$P^2\le(\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}})^2 \le \dfrac{3}{2x+4}+\dfrac{3}{2y+4}+\dfrac{3}{2z+4}$

Ta sẽ chứng minh:$\dfrac{3}{2x+4}+\dfrac{3}{2y+4}+\dfrac{3}{2z+4} \le \dfrac{3}{2}$

Quy đồng rồi thu gọn, BĐT tương đương:

                                         $xy+yz+zx \ge 3$ 

 

Luôn đúng do $xy+yz+zx\ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$.

Vậy $P_{max} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buomdem: 14-04-2013 - 13:09

[hoangkkk]

Ta có $a^2+ab-a+5 \ge ab+a+4 \ge 2a\sqrt{b}+4.$

Đặt $a\sqrt{b}=x$, $b\sqrt{c}=y$, $c\sqrt{a}=z$. $xyz=1$, ta được bài toán quen thuộc:

$P^2\le(\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}})^2 \le \dfrac{3}{2x+4}+\dfrac{3}{2y+4}+\dfrac{3}{2z+4}$

Ta sẽ chứng minh:$\dfrac{3}{2x+4}+\dfrac{3}{2y+4}+\dfrac{3}{2z+4} \le \dfrac{3}{2}$

Quy đồng rồi thu gọn, BĐT tương đương:

                                         $xy+yz+zx \ge 3$ 

 

Luôn đúng do $xy+yz+zx\ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$.

Vậy $P_{max} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ khi $a=b=c=1$

 

Lúc sáng làm bài mình cũng theo cách này, nhưng mà bạn chú ý ở chỗ $\sqrt{b^2+bc-c+5}$ chứ không phải $\sqrt{b^2+bc-b+5}$.

Mà như vậy thì bài toán khác đi rất nhiều.

[buomdem]

Lúc sáng làm bài mình cũng theo cách này, nhưng mà bạn chú ý ở chỗ $\sqrt{b^2+bc-c+5}$ chứ không phải $\sqrt{b^2+bc-b+5}$.

Mà như vậy thì bài toán khác đi rất nhiều.

Chết thật, mình không để ý kĩ cho lắm nên dẫn đến lời giải trên.

[Mua buon]

Lúc sáng làm bài mình cũng theo cách này, nhưng mà bạn chú ý ở chỗ $\sqrt{b^2+bc-c+5}$ chứ không phải $\sqrt{b^2+bc-b+5}$.

Mà như vậy thì bài toán khác đi rất nhiều.

 

 

 

 

 

 

Đáp án nó thế này

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mua buon: 16-04-2013 - 19:57

[hoangkkk]

Đáp án nó thế này

 

 

Đáp án này sai mất rồi.

[Mua buon]

Đáp án này sai mất rồi.

 

Hơi thất vọng về cái đáp án. Ko biết là nó sai hay là cái đề bị in nhâm ~