Chủ đề này có 1 trả lời

[jb7185]

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{x^9+18y-27x-29}{3}}-\sqrt{x-y-1}=2x+1\sqrt{x^2+x-2}\\ x(x^3+2xy-2x+2)+(y-2)^2+7=6\sqrt[3]{4(x-y+1)}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 17-04-2013 - 04:59

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{\frac{x^9+18y-27x-29}{3}}-\sqrt{x-y-1}=2x+1\sqrt{x^2+x-2} \\ x(x^3+2xy-2x+2)+(y-2)^2+7=6\sqrt[3]{4(x-y+1)} \bigstar\end{matrix}\right.$

 

Giải

 

ĐK : $\left\{\begin{matrix} x - y - 1 \geq 0 \\ x^2 + x - 2 \geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq y + 1 \\ x^2 + x - 2 \geq 0\end{matrix}\right.$

 

Phương trình $\bigstar$ tương đương:

$x^4 + 2x^2y - 2x^2 + 2x + y^2 - 4y + 11 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

 

$\Leftrightarrow (x^2 + y)^2 - 2(x^2 + y) + 2(x - y + 1) + 8 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

 

$\Leftrightarrow (x^2 + y - 1)^2 + 2(x - y + 1) + 8 = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

 

Do $x - y - 1 \geq 0$ nên $x - y + 1 > 0$

 

Vì vậy, áp dụng BĐT Cô si, ta có:

$2(x - y + 1) + 8 = 2(x - y + 1) + 4 + 4 \geq 3\sqrt[3]{32(x - y + 1)} = 6\sqrt[3]{4(x - y + 1)}$

 

Do đó: $VT \geq VF$. Vậy, phương trình có nghiệm khi BĐT xảy ra dấu "=", tức ta có hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2 + y - 1 = 0\\ 2.(x - y + 1) = 4\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + x - 2 = 0\\ y = x - 1\end{matrix}\right.$

 

- Nếu x = 1 thì y = 0

- Nếu x = -2 thì y = -3

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ và đối chiếu điều kiện để lấy nghiệm.

 

Tái bút: Dấu hoặc LATEX gõ như thế nào nhỉ?