Chủ đề này có 6 trả lời

[Nhox169]

cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x+y+z\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min

$P=\frac{x}{y}(\frac{1}{yz}+x^{4})+\frac{y}{z}(\frac{1}{xz}+y^{4})+\frac{z}{x}(\frac{1}{xy}+z^{4})$

[thanhdotk14]

cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x+y+z\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min

$P=\frac{x}{y}(\frac{1}{yz}+x^{4})+\frac{y}{z}(\frac{1}{xz}+y^{4})+\frac{z}{x}(\frac{1}{xy}+z^{4})$

Bài giải:

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$, $a,b,c>0$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{b}{a},\frac{y}{z}=\frac{c}{b},\frac{z}{x}=\frac{a}{c}$

Từ giả thiết suy ra:

$$\frac{3}{2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$$

$$\Rightarrow abc\geq 8$$

Do đó:$$P=\frac{b}{a}\left ( bc+\frac{1}{a^4} \right )+\frac{c}{b}\left ( ca+\frac{1}{b^4} \right )+\frac{a}{c}\left ( ab+\frac{1}{c^4} \right )=\sum \frac{b^2c}{a}+\sum \frac{b}{a^5}$$

Lại có:

$$\sum \frac{b^2c}{a}=\sum \frac{b^2c^2}{ac}\geq \sum ab$$

Do đó:

$$P\geq \sum ab+\sum \frac{b}{a^5}\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^2}+3\sqrt[3]{\frac{1}{\left ( abc \right )^4}}(*)$$

Đặt $abc=t, t\ge 8$

Khi đó: $(*)$  được viết lại thành:

$$P\geq 3\left ( \sqrt[3]{t^2} +\sqrt[3]{\frac{1}{t^4}}\right )=f\left ( t \right )$$

Ta có: $$f'\left ( t \right )>0,\forall t\geq 8$$

Do đó: Hàm $f$ là hàm đồng biến trong $\left [  8;+\infty  \right )$

Vậy $min P=min f(t)=\frac{195}{16} \Leftrightarrow t=8 \Leftrightarrow a=b=c=2 \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 18-04-2013 - 20:46

[thanhdotk14]

 

 

 

2 chỗ này mình chưa hiểu lắm =="

1-$\sum \rightarrow$ tổng các số hạng trong hoán vị $a,b,c$

2-Dùng bất đẳng thức cauchy bình thường thôi à!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 18-04-2013 - 21:27

[Nhox169]

 

2-Dùng bất đẳng thức cauchy bình thường thôi à!

nhưng sao $\sum \frac{b^{2}c^{2}}{ac}\geq \sum ab$

[thanhdotk14]

nhưng sao $\sum \frac{b^{2}c^{2}}{ac}\geq \sum ab$

Chỗ này là áp dụng bất đẳng thức $cauchy-schawrz$ đó bạn!

[Nhox169]

cauchy−schawrz là bunhia đúng hok vậy @@

[Nhox169]

tks bạn mình hiểu r