Cho $\Delta ABC$ là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)>4$
$(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)>4$
Bắt đầu bởi Mai Duc Khai, 23-04-2013 - 08:34
#1
Đã gửi 23-04-2013 - 08:34
Mai Duc Khai
-
- Thành viên
-
- 617 Bài viết
Thiếu úy
Tra cứu công thức toán trên diễn đàn
Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF
Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ
______________________________________________________________________________________________
- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm
- Đời chuyển ... Em xoay
Đời cay ... Em đắng
#2
Đã gửi 30-05-2013 - 21:43
trauvang97
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
Cho $\Delta ABC$ là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)>4$
Ta có:
$(1+sin^{2}A)(1+sin^{2}B)(1+sin^{2}C)=1+sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C+sin^{2}Asin^{2}Bsin^{2}C+sin^{2}Asin^{2}B+sin^{2}Bsin^{2}C+sin^{2}Csin^{2}A$
Ta có (do $0<A,B,C\leq \frac{\pi }{2}$)
$sinAsinB\geq sinAsinB-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC$
Tương tự ta có: $sinAsinC\geq cosB,sinBsinC\geq cosA$
Do đó:
$sin^{2}Asin^{2}B\geq cos^{2}C,sin^{2}Asin^{2}C\geq cos^{2}B,sin^{2}Bsin^{2}C\geq cos^{2}A$
Từ đó:
$\prod (1+sin^{2}A)\geq 1+\sum sin^{2}A+\sum cos^{2}A+sin^{2}Asin^{2}Bsin^{2}C$
$=4+sin^{2}Asin^{2}Bsin^{2}C>4$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 30-05-2013 - 21:44
- Mai Duc Khai và ongngua97 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
