Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leqslant 6$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{3xy+x+y+1}+\frac{1}{3yz+y+z+1}+\frac{1}{3zx+z+x+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienminhdv: 23-04-2013 - 17:59
$P=\frac{1}{3xy+x+y+1}+\frac{1}{3yz+y+z+1}+\frac{1}{3zx+z+x+1}$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 23-04-2013 - 17:58
#2
Đã gửi 23-04-2013 - 18:03
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leqslant 6$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{3xy+x+y+1}+\frac{1}{3yz+y+z+1}+\frac{1}{3zx+z+x+1}$
Từ giả thiết ta có $x^2+y^2+z^2+x+y+z \leq 6$
Lại có $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow \frac{(x+y+z)^2}{3}+x+y+z \leq 6$
$\Rightarrow x+y+z \leq 3$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt ta có
$P \geq \frac{9}{3(xy+yz+xz)+2(x+y+z)+3}$
Lại có $xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} \leq 3$
$\Rightarrow P \geq \frac{9}{3(xy+yz+xz)+2(x+y+z)+3} \geq \frac{1}{2}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$
- donghaidhtt và thienminhdv thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
