cho 3 số dương $a,b,c$ tm: $a+b+c=3$. Tìm min:
$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 24-04-2013 - 19:51
cho 3 số dương $a,b,c$ tm: $a+b+c=3$. Tìm min:
$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 24-04-2013 - 19:51
cho 3 số dương a,b1c tm: a+b+c=3. Tìm min:
$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$
Ta có $\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \frac{b^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}}$
Do đó $\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \frac{b^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{2bc+c^2+ac}}+\frac{a^2}{\sqrt{2ac+a^2+ab}}$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt ta có
$\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}+\sqrt{2bc+c^2+ac}+\sqrt{2ac+a^2+ab}}$
Do $a+b+c=3$ nên ta chỉ cần đi tìm MAX của ${\sqrt{2ab+b^2+bc}+\sqrt{2bc+c^2+ac}+\sqrt{2ac+a^2+ab}}=P$
Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$
Do đó $P\leq 3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}{3}}=3\sqrt{\frac{9+(ab+bc+ac)}{3}}$
Lại có $ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
$\Rightarrow P \leq 3\sqrt{\frac{9+3}{3}}=6$
$\Rightarrow \sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{P} \leq \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh