Thời gian làm bài 150 phút nhé!
Câu 1.(2 điểm)
a, Tìm các số a, b, c, d biết rằng :
$5(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})=(a+b+c+d+2)^{2}-20$
b, Cho x, y là hai số nguyên dương thõa mãn hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} xy+x+y=71\\x^{2}y+xy^{2}=880 \end{matrix}\right.$
Tính giá trị biểu thức A=$x^{2}+y^{2}$
Câu 2.(2 điểm)
a, Giải phương trình $(2x-1)^{2}=12\sqrt{x^{2}-x-2}+1$
b, Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng:
$2\leq BC\leq \sqrt{2}(AB+AC-\sqrt{2})$
Câu 3.(2 điểm)
a, Cho phương trình $x^{4}-6x^{2}+4=0$. Chứng minh rằng phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Gọi bốn nghiệm đó lần lượt là x1,x2,x3 và x4.Không giải phương trình hãy tính giá trị biếu thức:
T=$x_{1}^{6}+x_{2}^{6}+x_{3}^{6}+x_{4}^{6}$ (với kết quả thu gọn)
b, Cho ba số x, y, z thõa mãn $1\leq x,y,z\leq 3$
Đặt $S_{n}=x^{n}+y^{n}+z^{n}$ với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu $S_{1}\leq 5$ và $S_{2}\geq 11$ thì $S_{n}=3^{n}+2$
Câu 4.(3 điểm)
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên tia đối tia AB lấy M, qua M kẻ các tiếp tuyến MD, MC với (O2) (D, C là các tiếp điểm, D nằm trong (O1)). Đường thẳng CA cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai là P, đường thẳng AD cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai là Q; tiếp tuyến của (O2) tại A cắt (O1) tại điểm thứ hai là K; giao điểm của các đường thẳng CD và BP là E; giao điểm của các đường thẳng BK, AD là F.
a, Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp
b, Chứng minh rằng $\frac{CP}{DQ}=\frac{BC}{BD}=\frac{CA}{DA}$
c, Chứng minh rằng CD đi qua trung điểm PQ
Câu 5.(1 điểm)
Lấy 2014 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2018 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Biết diện tích của tứ giác ban đầu là 1cm2. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2018 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4030}$ cm2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTKBLYT9C1213: 26-04-2013 - 17:11