Chủ đề này có 3 trả lời

[phamdan1508]

Cho x,y,z >0 . CM  : $\frac{x^{2}-z^{2}}{y + z} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x + y} + \frac{y^{2}-x^{2}}{z + x} \geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 28-04-2013 - 13:56

[thanhdotk14]

Cho x,y,z >0  . CM  : $\frac{x^{2}-z^{2}}{y + z} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x + y} + \frac{y^{2}-x^{2}}{z + x} \geqslant (1)0$

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:$x\ge y\ge z$

Ta có:

$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}+\frac{y^2\left ( y-z \right )}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$ \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}-\frac{y^2\left [ \left ( x-y \right )+\left ( z-x \right ) \right ]}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x-y}{z+x}\left ( \frac{x^2}{y+z} -\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x-z}{x+y}\left ( \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z} \right )\ge 0$$

Vì $x\ge y\ge z$ nên:

$$\frac{x^2}{y+z}\geq \frac{x^2}{x+y}\geq \frac{y^2}{x+y}$$

$$y^3+y^2z-z^3-z^2x=y^2\left ( y+z \right )-z^2\left ( z-x \right )\geq y^2\left ( x+y \right )\geq 0$$

$$\Rightarrow \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z}\geq 0$$

Từ đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 28-04-2013 - 08:19

[dtvanbinh]

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:$x\ge y\ge z$

Ta có:

$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}+\frac{y^2\left ( y-z \right )}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$ \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}-\frac{y^2\left [ \left ( x-y \right )+\left ( z-x \right ) \right ]}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x-y}{z+x}\left ( \frac{x^2}{y+z} -\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x-z}{x+y}\left ( \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z} \right )\ge 0$$

Vì $x\ge y\ge z$ nên:

$$\frac{x^2}{y+z}\geq \frac{x^2}{x+y}\geq \frac{y^2}{x+y}$$

$$y^3+y^2z-z^3-z^2x=y^2\left ( y+z \right )-z^2\left ( z-x \right )\geq y^2\left ( x+y \right )\geq 0$$

$$\Rightarrow \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z}\geq 0$$

Từ đó ta có đpcm

bài này $f(x,y,z)\neq f(x,z,y)$ nên không thể giả sử như bạn được

giả sử $z=min(x,y,z)$

xét

$f(x)=\frac{x^{3}}{3(y+z)}-\frac{xz^{2}}{y+z}+(z^{2}-y^{2})ln(x+y)+(y^{2}-z^{2})ln(x+z)$

 

Ta có:

        

              $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{x^{2}+xy+y^{2}-3z^{2}}{3(y+z)}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x-y}ln\frac{x+y}{2y}+\frac{y^{2}-z^{2}}{x-y}ln\frac{x+z}{y-z}$ (1)

          

          $VP(1)=\frac{x^{2}+xy+y^{2}-3z^{2}}{3(y+z)}+(z^{2}-y^{2})ln(1+\frac{x-y}{2y})^{\frac{1}{x-y}}+(y^{2}-z^{2})ln(1+\frac{x-y}{y+z})^{\frac{1}{x-y}}$

 

              $\approx VP(1)>\frac{x^{2}+xy+y^{2}-3z^{2}}{3(y+z)}+(z^{2}-y^{2})e^{\frac{1}{2y}}+(y^{2}-z^{2})e^{\frac{1}{y+z}}$

 

Do $z=min(x,y,z)$ nên  $x^{2}+xy+y^{2}\geq 3z^{2};\frac{1}{2y}\leq \frac{1}{y+z}$

 

  Nên  $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\geq 0$ hay $f(x)$  đồng biến

 

Vậy $f'(x)\geq 0$ hay ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtvanbinh: 28-04-2013 - 11:38

[namcpnh]

Bài giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:$x\ge y\ge z$

Ta có:

$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}+\frac{y^2\left ( y-z \right )}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$ \frac{x^2\left ( x-y \right )}{\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}-\frac{y^2\left [ \left ( x-y \right )+\left ( z-x \right ) \right ]}{\left ( z+x \right )\left ( x+y \right )}+\frac{z^2\left ( z-x \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )}\ge 0$$

$$\Leftrightarrow \frac{x-y}{z+x}\left ( \frac{x^2}{y+z} -\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x-z}{x+y}\left ( \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z} \right )\ge 0$$

Vì $x\ge y\ge z$ nên:

$$\frac{x^2}{y+z}\geq \frac{x^2}{x+y}\geq \frac{y^2}{x+y}$$

$$y^3+y^2z-z^3-z^2x=y^2\left ( y+z \right )-z^2\left ( z-x \right )\geq y^2\left ( x+y \right )\geq 0$$

$$\Rightarrow \frac{y^2}{z+x}-\frac{z^2}{y+z}\geq 0$$

Từ đó ta có đpcm

 

Bài này ta phải xét thêm trường hợp $x\ge z\ge y$ ( làm tương tự như trên ).