Chủ đề này có 4 trả lời

[Sara Micky]

Bài 1 Cho tam giác ABC. L là điểm thuộc đoạn BC. M thuộc tia đối tia BA sao cho ∠ALC=2∠AMC. N thuộc tia đối tia CA sao cho ∠ALB=2∠ANB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh OL vuông góc với BC.

 

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. AI cắt (O) tại E khác A. AF là đường kính của (O). ED cắt (O) tại L khác E. Gọi LO giao AD tại X, DF giao OE tại Y. Chứng minh X, Y, I thẳng hàng.

 

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là một điểm trên (O). A₁, B₁, C₁ là trung điểm BC, CA, AB. PA₁, PB₁, P₁C cắt (O) tại A₂, B₂,C₂ khác P. Chứng minh rằng các đường thẳng AA₂, BB₂, CC₂ cắt nhau tạo thành một tam giác có diện tích không đổi khi P di chuyển trên (O).

 

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F.(K) là đường tròn thay đổi đi qua B, C sao cho EF cắt (K) tại P, Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DPQ luôn đi qua điểm cố định khác D.

 

Bài 5 Cho hai đường tròn (O₁), (O₂) tiếp xúc ngoài nhau tại M. A là điểm thuộc (O₂). AB, AC là tiếp tuyến của (O₁). MB, MC cắt (O₂) tại D, E khác M. Chứng minh DE đi qua trung điểm AB, AC.

[malx]

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là một điểm trên (O). A₁, B₁, C₁ là trung điểm BC, CA, AB. PA₁, PB₁, P₁C cắt (O) tại A₂, B₂,C₂ khác P. Chứng minh rằng các đường thẳng AA₂, BB₂, CC₂ cắt nhau tạo thành một tam giác có diện tích không đổi khi P di chuyển trên (O).

Gọi $DEF$ là tam giác được nói tới (xem hình vẽ).

Giả sử đường tròn ngoại tiếp $(BA_{1}A_{2})$ cắt $A_{1}C_{1}$ tại $F'$ thì do $\angle BF'A_{1} = 180^{\circ} - \angle BA_{2}A_{1} = \angle BC_{2}C_{1}$ nên tứ giác $C_{2}C_{1}F'B$ cũng là tứ giác nội tiếp. Lại có $\angle BC_{2}F' = \angle BC_{1}A_{1} = \angle BAC$ nên ba điểm $C_{2}, F', C$ thằng hàng. Cũng vậy, $\angle BA_{2}F' = \angle BA_{1}C_{1} = \angle BCA$ nên ba điểm $A_{2}, F', A$ thẳng hàng. Vậy nên $F'\equiv F \equiv CC_{2}\cap AA_{2}\cap A_{1}C_{1}$.

Tương tự như vậy chứng minh được $E$ nằm trên $B_{1}C_{1}$, $D$ nằm trên $A_{1}B_{1}$ (tham khảo hình vẽ).

Dễ dàng nhận thấy $EA\parallel BF\parallel DC$ nên S_DEF = S_ABF + S_BFC =  1/2 S_ABC

Hình gửi kèm

• 

[malx]

Bài 1 của bạn tuy hơi nhầm một chút nhưng không sao, đây là một bài hình hay.

 

Bài 1 Cho tam giác ABC. L là điểm thuộc đoạn BC. M thuộc tia đối tia BA sao cho ∠ALB=2∠AMC. N thuộc tia đối tia CA sao cho ∠ALC=2∠ANB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh OL vuông góc với BC

 

Gọi $Lx, Ly$ là phân giác các góc $\angle ALB$ và $\angle ALC$. Đường tròn ngoại tiếp $(ANB)$ cắt $BC$ tại $Q$ thì do $\angle AQB = \angle BNA = \angle yLC$ nên $AQ\parallel Ly$ và $AQ\perp Lx$, tam giác $ALQ$ là tam giác cân, $AQ = AL$

Tương tự như vậy, nếu đường tròn $(AMC)$ cắt $BC$ tại $P$ thì $PL = AL$.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(O)$. $OC_{2} - OB_{2} = (OC^{2} - r^{2}) - (OB^{2} - r^{2}) = CA.CN - BA.BM = CB.CQ - BP.BC = BC (CQ - BP) = BC (CL + LQ - BL - LP) = BC (LC - LB) = LC^{2} - LB^{2}$.

$LO$ quả thực vuông góc với $BC$

Hình gửi kèm

• 

[malx]

Bài 4 Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F.(K) là đường tròn thay đổi đi qua B, C sao cho EF cắt (K) tại P, Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DPQ luôn đi qua điểm cố định khác D.

 

Gọi giao điểm của $EF$ và $BC$ là $H$. Ta có $(H, D; A, C) = -1$, nếu $M$ là trung điểm của $BC$ thì $M$ có các tính chất sau $MB^{2} = MC^{2} = MD. MH$ (*) , cũng như $HD.HM = HB. HC$ (**). Ta sẽ sử dụng tính chất (**) này.

Lưu ý $HB. HC = HP. HQ$ nên $HP.HQ = HD.HM$, tứ giác $PQMD$ là tứ giác nội tiếp, nói cách khác đường tròn ngoại tiếp $(DPQ)$ luôn đi qua trung điểm $M$ của $BC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi malx: 27-08-2013 - 00:56

[malx]

Bài 5 Cho hai đường tròn (O₁), (O₂) tiếp xúc ngoài nhau tại M. A là điểm thuộc (O₂). AB, AC là tiếp tuyến của (O₁). MB, MC cắt (O₂) tại D, E khác M. Chứng minh DE đi qua trung điểm AB, AC.

 

Trước hết dễ thấy $CB\parallel DE$ (so sánh góc thông qua tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại $M$). Qua $E$ kẻ đường $Ex\parallel AC$ thì có $\angle xEC = \angle ECA = \angle CBM = \angle MDE$ nên $Ex$ là tiếp tuyến của $(O_{2})$ tại $E$.

Giả sử $AM$ cắt $(O_{1})$ tại $F$. Nhận xét thấy tứ giác nội tiếp $FCMB$ có $M$ là giao điểm của $(O_{1})$ với $FA$ mà $A$ lại là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B, C$ nên tứ giác này là tứ giác điều hòa. Chùm điều hòa $M(MCFB)$ cắt $(O_{2})$ cho tứ giác $MEAD$ điều hòa. Chùm điều hòa $E(MADE)$ cắt $AC$ cho $(C, A; N, \infty) = -1$ với $N\equiv ED\cap AC$ nên $N$ phải là trung điểm của $AC$, $ED$ cũng đi qua trung điểm của $AB$.

Hình gửi kèm

•