Chủ đề này có 5 trả lời

[Flower Dandelion]

1.Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y-2x+3y^{2}=0\\ x^{2}+y^{2}x+2y=0 \end{matrix}\right.$

2.Giải phương trình:

$2013.x^{4}+x^{4}.\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2012.2013$

3.Cho a,b,c là các số dương.CMR

$\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>8$

[Christian Goldbach]

1) Ở đây http://www.wolframal...d x^2+y^2x+2y=0

[25 minutes]

 

3.Cho a,b,c là các số dương.CMR

$\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>8$

Đặt $\left\{\begin{matrix}
x+y=a\\y+z=b
\\x+z=c

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{a-b+c}{2}\\y=\frac{a+b-c}{2}
\\z=\frac{b+c-a}{2}

\end{matrix}\right.$
BĐT đã cho trở thành
$\frac{25(a-b+c)}{2b}+\frac{16(a+b-c)}{2c}+\frac{(b+c-a)}{2a} >8$
$\Leftrightarrow \frac{25(a+c)}{b}+\frac{16(a+b)}{c}+\frac{(b+c)}{a}> 58$
$\Leftrightarrow (\frac{25a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{25c}{b}+\frac{16b}{c})+(\frac{16a}{c}+\frac{c}{a}) >58$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{25a}{b}+\frac{b}{a}\geq 10$
$\frac{25c}{b}+\frac{16b}{c}\geq 40$
$\frac{a}{c}+\frac{16c}{a}\geq 8$
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có đpcm, đẳng thức không xảy ra
Vây $\frac{25x}{y+z}+\frac{16y}{x+z}+\frac{z}{x+y} >8$

P/S: Bạn chuyển $a,b,c$ ban đầu thành $x,y,z$ rồi làm tương tự, tại mình nhìn nhầm biến

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 03-05-2013 - 21:14

[Flower Dandelion]

Đặt $\left\{\begin{matrix}
x+y=a\\y+z=b
\\x+z=c

\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{a-b+c}{2}\\y=\frac{a+b-c}{2}
\\z=\frac{b+c-a}{2}

\end{matrix}\right.$
BĐT đã cho trở thành
$\frac{25(a-b+c)}{2b}+\frac{16(a+b-c)}{2c}+\frac{(b+c-a)}{2a} >8$
$\Leftrightarrow \frac{25(a+c)}{b}+\frac{16(a+b)}{c}+\frac{(b+c)}{a}> 58$
$\Leftrightarrow (\frac{25a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{25c}{b}+\frac{16b}{c})+(\frac{16a}{c}+\frac{c}{a}) >58$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{25a}{b}+\frac{b}{a}\geq 10$
$\frac{25c}{b}+\frac{16b}{c}\geq 40$
$\frac{a}{c}+\frac{16c}{a}\geq 8$
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có đpcm, đẳng thức không xảy ra
Vây $\frac{25x}{y+z}+\frac{16y}{x+z}+\frac{z}{x+y} >8$

P/S: Bạn chuyển $a,b,c$ ban đầu thành $x,y,z$ rồi làm tương tự, tại mình nhìn nhầm biến

ok,tks bạn nhá

[PTKBLYT9C1213]

1.Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y-2x+3y^{2}=0\\ x^{2}+y^{2}x+2y=0 \end{matrix}\right.$

2.Giải phương trình:

$2013.x^{4}+x^{4}.\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2012.2013$

3.Cho a,b,c là các số dương.CMR

$\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>8$

3, $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

=$\frac{25a}{b+c}+25+\frac{16b}{c+a}+16+\frac{c}{a+b}+1-42$

=$\frac{25(a+b+c)}{b+c}+\frac{16(a+b+c)}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-42$

=$(a+b+c)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{c+a}+\frac{1}{a+b})-42$

$\geq (a+b+c)\frac{(5+4+1)^{2}}{2(a+b+c)}-42=8$

Dấu "=" khi $\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{4}=a+b$ (vô lý)

[phatthemkem]

2.Giải phương trình:

$2013.x^{4}+x^{4}.\sqrt{x^{2}+2013}+x^{2}=2012.2013$

Phương trình đã cho tương đương với $(2013+\sqrt{x^2+2013})(x^4-2013+\sqrt{x^2+2013})=0$

Vì $2013+\sqrt{x^2+2013}>0$ nên $x^4-2013+\sqrt{x^2+2013}=0$

$\Leftrightarrow x^4-2013=-\sqrt{x^2+2013}$

$\Leftrightarrow x^8-4026x^4+2013^2=x^2+2013$

$\Leftrightarrow (x^4-x^2-2013)(x^4-x^2-2012)=0$

Tới đây chỉ cần giải hai phương trình trùng phương, loại bỏ nghiệm ngoại lai sẽ thu được kết quả cuối cùng.

KẾT QUẢ: $x_{1}=\frac{\sqrt{2\sqrt{8049}-2}}{2} ,x_{2}=-\frac{\sqrt{2\sqrt{8049}-2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 05-05-2013 - 19:24