Chủ đề này có 5 trả lời

[Supermath98]

Tồn  tại hay không các số a;b;c;d hữu tỉ sao cho

$\left ( a+b\sqrt{2} \right )^{1994}+\left ( c+d\sqrt{2} \right )^{1994}= 5+4\sqrt{2}$

[bachhammer]

Giả sử tồn tại các số a;b;c;d hữu tỉ thoả mãn đẳng thức trên.Chúng ta thấy rằng: nếu x;y là các số hữu tỉ sao cho $x+y\sqrt{2}=5+4\sqrt{2}$ thì x chỉ có thể bằng 5 và y chỉ có thể bằng 4.Thật vậy, nếu y khác 4, thì $\sqrt{2}=\frac{5-x}{y-4}$ là số hữu tỉ, đó là điều vô lí. Vậy nên x=5, y=4.

Ta có:

$(a+b\sqrt{2})^{1994}+(c+d\sqrt{2})^{1994}=\sum_{i=0}^{1994}\binom{1994}{i}a^{1994-i}(b\sqrt{2})^{i}+\sum_{i=0}^{1994}\binom{1994}{i}c^{1994-i}(d\sqrt{2})^{i}=(\sum_{i=0}^{997}\binom{1994}{2i}2^{i}a^{1994-i}b^{2i}+\sum_{i=0}^{997}\binom{1994}{2i}2^{i}c^{1994-i}d^{2i})+\sqrt{2}(\sum_{i=0}^{996}\binom{1994}{2i+1}2^{i}a^{1993-2i}b^{2i+1}+\sum_{i=0}^{996}\binom{1994}{2i+1}2^{i}c^{1993-2i}d^{2i+1})=X+Y\sqrt{2}=5+4\sqrt{2}$(Theo khai triển nhj thức Newton)

Trong đó X,Y là các biểu thức trong ngoặc. Khi đó theo chứng minh trên ta suy ra X=5;Y=4. Và khi đó $X-Y\sqrt{2}=5-4\sqrt{2}$, hay ta có thể viết lại thành:

$(a-b\sqrt{2})^{1994}+(c-d\sqrt{2})^{1994}=5-4\sqrt{2}=\sqrt{25}-\sqrt{32}$. Ta thấy vế phải không âm, trong khi vế trái lại âm, đó là một điều vô lí.

Vậy không tồn tại các số a;b;c;d hữu tỉ thoả mãn đẳng thức trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 06-05-2013 - 10:23

[bachhammer]

Nhân tiện chúng ta có thể đề xuất bài toán tổng quát như sau: Cho k là số tự nhiên không nhỏ hơn 2, và $n_{1},...,n_{k}$ là các số nguyên dương. Có thể tìm được các cặp số hữu tỉ $(x_{i};y_{i})$ ($1\leq i\leq k$) sao cho:

$(x_{1}+y_{1}\sqrt{2})^{2n_{1}}+...+(x_{k}+y_{k}\sqrt{2})^{2n_{k}}=5+4\sqrt{2}$.

Và đáp án cũng là ko tìm được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 06-05-2013 - 09:31

[Supermath98]

Bạn có thể làm rõ bài làm của bạn cho mình theo cách dễ hiểu nhất với 1 học sinh THCS được không? Bài bạn thì mình hiểu nhưng vấn đề là trả lời thầy để các bạn hiểu!\

 

 

 

P/s: bọn mình chưa học nhị thức newton

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannguyena1: 06-05-2013 - 11:45

[bachhammer]

Ờ thì nếu bạn ko bít về tổ hợp thì bạn có thể viết nhị thức Newton theo cách sau:$(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}b^{2}+...+b^{n}$.

Nhưng mà đừng quan tâm tới sự tồn tại của các hệ số đi kèm mà nên chú ý tới các số mũ của a và b, nó chính là mấu chốt của bài toán. Vì $(\sqrt{2})^{2k+1}$ khi biến đổi nó vẫn còn một căn bậc 2 của 2, trong khi với $(\sqrt{2})^{2k}$ thì nó làm biến mất hoàn toàn căn bậc 2 của 2, thay vào đó là hệ số nguyên dương. Khi đó trong cách chứng minh trên, khi khai triển biểu thức trên, ta sẽ tách được thành 2 nhóm: một nhóm mất căn bậc 2 của 2 hoàn toàn, còn một nhóm còn lại sẽ còn chứa căn bậc 2 của 2. Từ đó dẫn đến cách chứng minh trên. Mong bạn thông cảm vì cách chứng minh mang đậm chất THPT.

[huyxxbian]

Ờ thì nếu bạn ko bít về tổ hợp thì bạn có thể viết nhị thức Newton theo cách sau:$(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}b^{2}+...+b^{n}$.
Nhưng mà đừng quan tâm tới sự tồn tại của các hệ số đi kèm mà nên chú ý tới các số mũ của a và b, nó chính là mấu chốt của bài toán. Vì $(\sqrt{2})^{2k+1}$ khi biến đổi nó vẫn còn một căn bậc 2 của 2, trong khi với $(\sqrt{2})^{2k}$ thì nó làm biến mất hoàn toàn căn bậc 2 của 2, thay vào đó là hệ số nguyên dương. Khi đó trong cách chứng minh trên, khi khai triển biểu thức trên, ta sẽ tách được thành 2 nhóm: một nhóm mất căn bậc 2 của 2 hoàn toàn, còn một nhóm còn lại sẽ còn chứa căn bậc 2 của 2. Từ đó dẫn đến cách chứng minh trên. Mong bạn thông cảm vì cách chứng minh mang đậm chất THPT.

 
 

Bạn có thể làm rõ bài làm của bạn cho mình theo cách dễ hiểu nhất với 1 học sinh THCS được không? Bài bạn thì mình hiểu nhưng vấn đề là trả lời thầy để các bạn hiểu!\
 
 
 
P/s: bọn mình chưa học nhị thức newton

BẠN bachhammer VỪA LÀM VỪA CHỨNG MINH TÍNH CHẤT NÊN KHÓ HIỂU... NẾU KHÔNG THÌ CHỈ CẦN DÙNG TÍNH CHẤT LÀ XONG
TÍNH CHẤT THÌ NHƯ BẠN ĐÃ CHỨNG MINH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 06-05-2013 - 18:16