Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho n là số nguyên dương thoả $n\geq 3$. Sắp xếp 3 số thực sau theo thứ tự tăng dần:$n+1;2\sqrt{n};2\sqrt[n]{n!}$. Chứng minh cách sắp xếp đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 06-05-2013 - 10:02

[bachhammer]

Haiz, thôi mình xì lời giải ra vậy, chả có ma nào thèm giải cả. Như vậy, để sắp xếp a>b>c, ta sẽ chứng minh 2 BĐT a>b và b>c. Dùng máy tính ta có thể dự đoán được $n+1>2\sqrt[n]{n!}$(1) và $2\sqrt[n]{n!}>2\sqrt{n}$(2). Với (2) ta có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp. Với (1) ta sẽ chứng minh như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số tự nhiên ta có:

$1+2+3+...+n>n\sqrt[n]{n!}$ (Do dấu bằng ko xảy ra).$\Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}>n\sqrt[n]{n!}\Leftrightarrow n+1>2\sqrt[n]{n!}$. Đó là ĐPCM.