Chủ đề này có 2 trả lời

[phanquockhanh]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ba}}\leq \frac{1}{2}$

 

[DavidVince]

Ta có  $a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)$

$\Rightarrow VT=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{c}{c+a})=\frac{1}{2}$

[25 minutes]

Ta có  $a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)$

$\Rightarrow VT=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{c}{c+a})=\frac{1}{2}$

Chỗ đó bạn áp dụng AM-GM sai rồi nhé

Phải là $\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}=\frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})$

Do đó $\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$