2 replies to this topic

[thehuy98]

tìm GTLN nguyên âm của m để phương trình $x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0$ có 3 nghiêm phân biệt

[phatthemkem]

Nếu như thực chất đề bài như đã sửa dưới đây thì

tìm GTLN nguyên âm của m để phương trình x³-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0 có 3 nghiêm phân biệt

Gọi $a,b,c$ là $3$ nghiệm của phương trình ($a\neq b\neq c$), sử dụng Viète cho phương trình bậc ba một ẩn, ta có

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=2m+1\\ ab+bc+ac=3m+12\\ abc=m+12 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ab+bc+ac-a-b-c-abc=-1$

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(1-c)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1\\ b=1\\ c=1 \end{bmatrix}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=2m\\ bc=m+12 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $b,c$ là $2$ nghiệm của phương trình $z^2-2mz+m+12=0$.

Phương trình $x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0$ có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $z^2-2mz+m+12=0$ có $2$ nghiệm phân biệt, ta có

$\Delta '=m^2-m-12> 0$

$\Leftrightarrow (m-4)(m+3)>0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>4\\ m<-3 \end{bmatrix}$

Vì $m$ nguyên âm nên $Max_{m}=-4$

Vậy...

Edited by phatthemkem, 11-05-2013 - 14:50.

[Juliel]

Phương trình là $x^{3}-(2m+1)x^{2}+3(m+4)x-m-12=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-2mx+m+12)= 0$

Phương trình luôn có một nghiệm x=1

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $x^{2}-2mx+m+12= 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

$\left\{\begin{matrix} & (-1)^{2}-2m(-1)+m+12 khác 0 & \\ & \Delta >0 & \end{matrix}\right.$

Giải ra được $\left\{\begin{matrix} & m \neq \frac{-13}{3} & \\ & m <-3 ; m > 4 & \end{matrix}\right.$

Vì cần tìm m nguyên âm và lớn nhất nên m = -4 thoả mãn.

 

Edited by Juliel, 14-05-2013 - 16:49.