Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhthaiquyen]

Xét tính tăng giảm và cực trị hàm số $\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}$  cho bởi:

$f\left ( x \right )=\int_{x^{3}}^{1}\sqrt[5]{2+3t^{2}}$

[maxolo]

Xét tính tăng giảm và cực trị hàm số $\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}$  cho bởi:

$f\left ( x \right )=\int_{x^{3}}^{1}\sqrt[5]{2+3t^{2}}$

 

Bạn đặt hàm số

$$g(y) = \int_{y}^{1}\sqrt[5]{2+3t^{2}} dt = - \int_{1}^{y}\sqrt[5]{2+3t^{2}} dt$$

Theo định lý cơ bản, đạo hàm của nguyên hàm là hàm số ban đầu:

$$g'(y) = -\sqrt[5]{2+3y^{2}}$$

Chú ý rằng $f(x) = g(x^3)$ nên

$$f(x) = \sqrt[5]{2+3x^6}$$

Do đó

$$h(x):=(f(x))^2 = ({2+3x^{6}})^{\frac{2}{5}}$$

Từ đây ta tính đạo hàm

$$h'(x) = \frac{2}{5} ({2+3x^{6}})^{-\frac{3}{5}}(16x^5)$$

Để xét tính tăng, giảm, ta nhận thấy rằng $h'(x)$ có không điểm tại $x=0$, vì phần $ ({2+3x^{6}})^{-\frac{3}{5}}>0$ và do đó $h'>0$ khi $x>0$ và $h'<0$ khi $x<0$. Ta suy ra hàm số giảm trên miền $x<0$ và tăng trên miền $x>0$. Hơn nữa, hàm số có minimum tại $x=0$.

[hoangcuong12a3]

mình nghĩa g'(y) là đạo hàm hợp thì phải nhân thêm với y' theo x nữa

[maxolo]

Bạn đặt hàm số

$$g(y) = \int_{y}^{1}\sqrt[5]{2+3t^{2}} dt = - \int_{1}^{y}\sqrt[5]{2+3t^{2}} dt$$

Theo định lý cơ bản, đạo hàm của nguyên hàm là hàm số ban đầu:

$$g'(y) = -\sqrt[5]{2+3y^{2}}$$

Chú ý rằng $f(x) = g(x^3)$ nên

$$f(x) = \sqrt[5]{2+3x^6}$$

Do đó

$$h(x):=(f(x))^2 = ({2+3x^{6}})^{\frac{2}{5}}$$

Từ đây ta tính đạo hàm

$$h'(x) = \frac{2}{5} ({2+3x^{6}})^{-\frac{3}{5}}(16x^5)$$

Để xét tính tăng, giảm, ta nhận thấy rằng $h'(x)$ có không điểm tại $x=0$, vì phần $ ({2+3x^{6}})^{-\frac{3}{5}}>0$ và do đó $h'>0$ khi $x>0$ và $h'<0$ khi $x<0$. Ta suy ra hàm số giảm trên miền $x<0$ và tăng trên miền $x>0$. Hơn nữa, hàm số có minimum tại $x=0$.

 

 

mình nghĩa g'(y) là đạo hàm hợp thì phải nhân thêm với y' theo x nữa

 

Sửa lại theo nhận xét của hoangcuong12a3:

 

Vì $f(x) = g(x^3)$ nên

$$\frac{d}{dx} (f(x))^2 = 2f(x)f'(x) = 2f(x)g'(x^3)3x^2 = -6x^2f(x)\sqrt[5]{2+3x^6}$$

Vậy, dấu của đạo hàm của $f^2$ phụ thuộc vào dấu của $-f(x)$. Rõ ràng $f(x)=0$ khi và chỉ khi $x=1$ hoặc $x=0$ và $f>0$ khi $x<1$; $f<0$ khi $x>1$. Từ đó suy ra hàm số tăng trên khoảng $(1,\infty)$ và giảm trên $(-\infty,1)$, đạt cực tiểu tại $x=1$.