Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa abc=1.

Chứng minh rằng:$\frac{1}{a^{7}\sqrt{7b^{16}+2b^{7}}}+\frac{1}{b^{7}\sqrt{7c^{16}+2c^{7}}}+\frac{1}{c^{7}\sqrt{7a^{16}+2a^{7}}}\geq abc$

[bachhammer]

Đây là bài toán hơi khó, thôi để mình giải vậy (tại lâu quá ko có ma nào đụng): Ta có:

$\frac{1}{a^{7}\sqrt{7b^{16}+2b^{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{7b^{2}}{c^{14}}+\frac{2}{b^{7}c^{14}}}}=\frac{1}{\sqrt{7a^{14}b^{16}+2a^{14}b^{17}}}=\frac{1}{\sqrt{7a^{14}b^{16}+2a^{21}b^{14}c^{7}}}=\frac{1}{a^{7}b^{7}\sqrt{7b^{2}+2a^{7}c^{7}}}=\frac{c^{7}}{\sqrt{7b^{2}+2a^{7}c^{7}}}$.

Ta xét biểu thức sau với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1:$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+(z^{2}+xy+xy+yz+yz+zx+zx)\geq2xy+7\sqrt[7]{z^{6}x^{4}y^{4}}=2xy+7\sqrt[7]{z^{2}}=2(x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{1}{7}})^{7}+7z^{\frac{2}{7}}$.

Từ đó ta suy ra:

$\frac{x}{x+y+z}\leq\frac{x}{ 2(x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{1}{7}})^{7}+7z^{\frac{2}{7}}}$. (1). Tương tự cho các đánh giá còn lại.

Đến đây ta đặt $x^{\frac{1}{7}}=a;y^{\frac{1}{7}}=b;x^{\frac{1}{7}}=c$ thì ta suy ra $a^{7}=x;b^{7}=y;c^{7}=z$. Khi đó từ (1) ta suy ra:

$\frac{a^{7}}{a^{7}+b^{7}+c^{7}}\leq \frac{a^{7}}{\sqrt{7c^{2}+2a^{2}b^{2}}}$. Tương tự cho các biểu thức còn lại. Khi đó VT của bất đẳng thức cần chứng minh lớn hơn hoặc bằng 1. Mà abc=1 nên ta suy ra điều phải chứng minh. Dĩ nhiên dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.(Nếu có jì sai mong đóng góp ý kiến jùm, cảm ơn)  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 19-05-2013 - 10:15