Chủ đề này có 2 trả lời

[hathanh123]

Cho a,b,c dương, và ab+bc+ca = abc, CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}+b^{3}}\leq 1$

 

[ongngua97]

Cho a,b,c dương, và ab+bc+ca = abc, CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}+b^{3}}\leq 1$

Trước hết ta CM được : $2(a^{3}+b^{3})\geq (a^{2}+b^{2})(a+b)$, thật vậy BĐT $\Leftrightarrow$ $(a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ 

Do đó ta có:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}+b^{3}}\leq \frac{2}{a+b}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}+b^{3}}\leq \sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\leq \sum \frac{1}{a}= 1$.

(do $ab+bc+ac=abc$

Bài toán được chứng minh xong.

[barcavodich]

Cho a,b,c dương, và ab+bc+ca = abc, CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}+b^{3}}\leq 1$

Bài toán khá đơn gản

Đầu tiên theo Bunhia ta có ngay $(a+b)(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}\leq \frac{a+b}{a^2+b^2}\leq \frac{a+b}{2ab}=\frac{ac+bc}{2abc}$

Tương tự cộng lại