Chủ đề này có 3 trả lời

[chinhanh9]

Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh:

$( a^2+4 )(b^2+4)(c^2+4)\geq 5(a+b+c+2)^{2}$

 

Phát biểu bài toán tổng quát.

[25 minutes]

Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh:

$( a^2+4 )(b^2+4)(c^2+4)\geq 5(a+b+c+2)^{2}$

 

Phát biểu bài toán tổng quát.

Khai triển trực tiếp bất đẳng thức ta có

                      $\Leftrightarrow (abc)^2+4\sum a^2b^2+16 \sum a^2+64\geq 5(\sum a^2+2 \sum ab+4 \sum a +4)$

                      $\Leftrightarrow (abc)^2+44+4 \sum a^2b^2+11 \sum a^2 \geq 10 \sum ab+ 20 \sum a$

Áp dụng các bất đẳng thức sau :

                 $\left\{\begin{matrix} (abc)^2+1 \geq 2abc\\\sum a^2+2abc+1 \geq 2 \sum ab \\10 \sum a^2+30 \geq 20 \sum a \\ 4\sum a^2b^2+12 \geq 8 \sum ab \end{matrix}\right.$

Cộng 4 bđt trên lại ta có đpcm 

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 11-05-2013 - 10:16

[vutuanhien]

Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh:

$( a^2+4 )(b^2+4)(c^2+4)\geq 5(a+b+c+2)^{2}$

 

Phát biểu bài toán tổng quát.

Áp dụng BĐT C-S, ta có $(a+b+c+2)^2\leq (a^2+4)(1+\frac{(b+c+2)^2}{4})$. Do đó ta chỉ cần chứng minh $(b^2+4)(c^2+4)\geq 5\left [ 1+\frac{(b+c+4)^2}{4} \right ]$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $\frac{5(b+c+2)^2}{4}\leq \frac{5\left [(b+c)^2+2^2 \right ]}{2}$. Do đó ta chỉ cần cm$b^2c^2+4(b^2+c^2)+16\geq 5+\frac{5\left [ (b+c)^2+2^2 \right ]}{2}\Leftrightarrow b^2c^2+4(b^2+c^2)+1\geq \frac{5(b^2+c^2)}{2}+5bc\Leftrightarrow b^2c^2+\frac{3}{2}(b^2+c^2)+1\geq 5bc\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{3(b-c)^2}{2}\geq 0$

[chinhanh9]

Bài toán tổng quát (hơi hơi thôi):

 Cho các số thực $a,b,c$. Khi đó ta có: $\left (a^{2}+n \right )\left ( b^{2}+n\right )\left ( c^{2} +n\right )\geq \left ( n+1 \right )\left ( a+b+c+n-2 \right )^{2}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự