Chủ đề này có 2 trả lời

[vanhieu9779]

chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi  $\frac{1+cosB}{sinB}=\frac{2a+c}{\sqrt{4a^{2}-c^{2}}}$

[phanquockhanh]

chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi  $\frac{1+cosB}{sinB}=\frac{2a+c}{\sqrt{4a^{2}-c^{2}}}$

 

$gt \Leftrightarrow \frac{2cos^{2}\frac{B}{2}}{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}= \frac{2a+c}{\sqrt{4a^{2}-c^{2}}}$
$\Leftrightarrow (\frac{cos\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}})^{2} =\frac{(2a+c)^{2}}{4a^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow 1+cot^{2}\frac{B}{2}= 1+\frac{2a+c}{2a-c}\Leftrightarrow \frac{1}{sin^{2}\frac{B}{2}}= \frac{4a}{2a-c}\Leftrightarrow 2a-c= 2a(1-cosB)\Leftrightarrow c=2acosB$

$\Leftrightarrow c^{2}=2ac.cosB$
Kết hợp đ/lí hàm số cosin,ta có

$c^{2}=2ca.cosB= a^{2}+c^{2}-b^{2}$$\Rightarrow a= b\Rightarrow \bigtriangleup ABC$ cân tại C

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 12-05-2013 - 20:59

[diepviennhi]

Cách khác do B là góc trong tam giác nên $sinB>0, 1+cosB>0$ nên bình phương hai vế được $\frac{(1+cosB)^{2}}{sin^{2}B}=\frac{(2a+c)^{2}}{4a^{2}-c^{2}}\Leftrightarrow \frac{(1+cosB)^{2}}{1-cos^{2}B}=\frac{(2a+c)^{2}}{(2a+c)(2a-c)}\Leftrightarrow \frac{1+cosB}{1-cosB}=\frac{2a+c}{2a-c}\Leftrightarrow \frac{1+cosB}{2}=\frac{2a+c}{4a}\Leftrightarrow 2a.cosB=c\Leftrightarrow a^{2}+c^{2}-b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow a=b$ hay tam giác cân ở C