Chủ đề này có 1 trả lời

[Kaitou Kid 1412]

Cm tam giác ABC đều nếu:

$\Sigma \frac{1}{sin^2 2A}= \frac{1}{2cos A cos B cos C}$

 

[diepviennhi]

Cm tam giác ABC đều nếu:

$\Sigma \frac{1}{sin^2 2A}= \frac{1}{2cos A cos B cos C}$

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau cho $\large \bigtriangleup ABC$$\large sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC$

Ta có $\large sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B).cos(A-B)+2sinC.cosC=2sinC(cos(A-B)+cos(A+B))=4sinA.sinB.sinC$

Và Bổ đề Với $\large \forall x;y;z>0$ ta có $\large \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}$

Bất Đẳng thức cần chứng minh $\large \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\Leftrightarrow (\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}+(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})^{2}+(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})^{2}\geq0$

Áp dụng ta có $\large \frac{1}{sin^{2}2A}+\frac{1}{sin^{2}2B}+\frac{1}{sin^{2}2C}\geq\frac{1}{sin2A.sin2B}+\frac{1}{sin2B.sin2C}+\frac{1}{sin2C.sin2A}$ mà $\large \frac{1}{2cosA.cosB.cosC}=\frac{4sinA.sinB.sinC}{8cosA.cosB.cosC.sinA.sinB.sinC}=\frac{sin2A+sin2B+sin2C}{sin2A.sin2B.sin2C}=\frac{1}{sin2A.sin2B}+\frac{1}{sin2B.sin2C}+\frac{1}{sin2C.sin2A}$

Dấu bằng khi $\large sin2A=sin2B=sin2C\Leftrightarrow \bigtriangleup ABC$ đều