Chủ đề này có 3 trả lời

[MatRFLOL]

Cho hai số thực dương x,y

Tìm GTLN biểu thức $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x+y \right )^{4}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MatRFLOL: 22-05-2013 - 21:17

[nguyen phat tai]

Tìm GTLN biểu thức $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x+y \right )^{4}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$

có điều kiện x, y không bạn

[MatRFLOL]

có điều kiện x, y không bạn

Điều kiện x, y dương bạn ạ mình đã bổ sung rồi đó

[thanhdotk14]

Cho hai số thực dương x,y

Tìm GTLN biểu thức $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x+y \right )^{4}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$

Bài giải:

Ta viết  lại $P$ như sau:

$$P=\frac{\left ( x+y \right )^4-4xy\left ( x^2+y^2 \right )-6x^2y^2}{\left ( x+y \right )^4}+\frac{\left ( x+y \right )^2-2xy}{\left ( x+y \right )^2}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$$

$$=2-\frac{4xy\left ( x^2+y^2 \right )}{\left ( x+y^4 \right )}-\frac{6x^2y^2}{\left ( x+y \right )^4}-\frac{2xy}{\left ( x+y \right )^2}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$$

$$=-\frac{4xy\left [ \left ( x+y \right )^2 -2xy\right ]}{\left ( x+y \right )^4}-\frac{6x^2y^2}{\left ( x+y \right )^4}-\frac{2xy}{\left ( x+y \right )^2}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$$

$$=\frac{2x^2y^2}{\left ( x+y \right )^4}-\frac{6xy}{\left ( x+y \right )^2}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}+2$$

Đặt $\frac{\sqrt{xy}}{x+y}=a \Rightarrow 0<a\leq \frac{1}{2}$ 

Từ đó: $P$ được viết lại thành:

$$P=2a^4-6a^2+5a+2=f\left ( a \right )(0<a\le \frac{1}{2})$$

Dễ dàng thấy: $f'\left ( a \right )>0$

$\Rightarrow$ Hàm $f$ đồng biến trong $\left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$

$\Rightarrow Max P=Max f(a)=\frac{25}{8}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 27-05-2013 - 16:47