Chủ đề này có 5 trả lời

[phatthemkem]

Bài 1: ($2$ point)

 a) Tính giá trị biểu thức 

$A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

 b) Cho $x,y$ là các số khác $0$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{x^3+y^3+xy}$

Bài 2: ($2$ point)

 a) Giải phương trình $(x^2+3x-4)(x^2+x-6)=24$

 b) Cho $x,y,z$ dương, giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x+y)(y+z)=187\\ (y+z)(z+x)=154\\ (z+x)(x+y)=238 \end{matrix}\right.$

Bài 3: ($2$ point)

 a) Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $-1\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $ab+bc+ca\geq -3$

 b) Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là ước  chung của $a,b$. Chứng minh $d\leq \sqrt{a+b}$

Bài 4: ($3$ point)

 Trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB=2R$ lấy hai điểm $M,N$ sao cho $M$ thuộc cung $AN$ và tổng các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến đường thẳng $MN$ bằng $R\sqrt{3}$.

 a) Tính $MN$ theo $R$

 b) Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $K$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Chứng minh bốn điểm $M,N,I,K$ cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo $R$

c) Tính diện tích lớn nhất của tam giác $KAB$ theo $R$ khi $M,N$ di chuyển trên $(O)$ nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết.

Bài 5: ($1$ point)

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=120^0$. Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ một góc $\widehat{BAx}=15^0$ và cắt $BC$ tại $M$, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Tính giá trị biểu thức sau

 $$T=AB^2(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 20-05-2013 - 17:26

[banhgaongonngon]

Bài 1: ($2$ point)

 a) Tính giá trị biểu thức 

$A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

 b) Cho $x,y$ là các số khác $0$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{x^3+y^3+xy}$

Bài 2: ($2$ point)

 a) Giải phương trình $(x^2+3x-4)(x^2+x-6)=24$

 b) Cho $x,y,z$ dương, giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x+y)(y+z)=187\\ (y+z)(z+x)=154\\ (z+x)(x+y)=238 \end{matrix}\right.$

Bài 3: ($2$ point)

 a) Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $-1\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=0$. Chứng minh $ab+bc+ca\geq -3$

 b) Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là ước  chung của $a,b$. Chứng minh $d\leq \sqrt{a+b}$

Bài 4: ($3$ point)

 Trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB=2R$ lấy hai điểm $M,N$ sao cho $M$ thuộc cung $AN$ và tổng các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến đường thẳng $MN$ bằng $R\sqrt{3}$.

 a) Tính $MN$ theo $R$

 b) Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $K$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Chứng minh bốn điểm $M,N,I,K$ cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo $R$

Bài 5: ($1$ point)

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=120^0$. Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ một góc $\widehat{BAx}=15^0$ và cắt $BC$ tại $M$, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Tính giá trị biểu thức sau

 $$T=AB^2(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2})$$

 

Bài 1

a)

$A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}=1$

b)

$\frac{1}{x^{3}+y^{3}+xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq \frac{2}{(x+y)^{2}}=2$

 

Bài 2

a)

$PT\Leftrightarrow (x+1)(x-4)(x-2)(x+3)=24$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x-2 \right )\left ( x^{2}-x-12 \right )=24$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}-x-2=12\\ x^{2}-x-2=-2 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=1 \\ x=\frac{1}{2}\left ( 1+\sqrt{57} \right ) \\ x=\frac{1}{2}\left ( 1-\sqrt{57} \right ) \end{bmatrix}$

b)

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=17\\ y+z=11 \\ z+x=14 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=10\\ y=7 \\ z=4 \end{matrix}\right.$

 

Bài 3

 

a)

Từ $a+b+c=0\Rightarrow ab+bc+ca=-\frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

Mặt khác ta có

$\left\{\begin{matrix} (a+1)(a-2)\leq 0\\ (b+1)(b-2)\leq 0 \\ (c+1)(c-2)\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-a\leq 2\\ b^{2}-b\leq 2 \\ c^{2}-c\leq 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 6$

Vậy $ab+bc+ca\geq -3$

 

Bài 4

a) Gọi $T$ là trung điểm của $MN$

Ta có $OT=\frac{\sqrt{3}}{2}R \Rightarrow MN=2TM=2\sqrt{R^{2}-OT^{2}}=R$

 

Bài 5

 

Ta chứng minh $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{4}{3AB^{2}}$

Thật vậy, kẻ $AH\perp CD$, $AK\perp AN$ ta chứng minh được

$\Delta ACE=\Delta ACM(g.c.g)\Rightarrow AE=AM$

Do đó $\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}$

$AH$ là đường cao của tam giác đều $ACD$ nên $AH=\frac{\sqrt{3}}{2}AC\Rightarrow AH^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}$

Ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 19-05-2013 - 23:04

[conan98md]

bài 4 

 

a, kẻ AA' và BB' vuông góc với MN , gọi H là trung điểm của MN

 

$\Rightarrow$ OH là đường trung bình của hình thang ABB'A

 

$\Rightarrow$ OH = $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ 

 

$\Rightarrow$ MH = $\frac{R}{2}$

 

$\Rightarrow$ MN = R 

 

 $\Rightarrow$ $\Delta$ ONM  đều 

 

b, dễ thấy M,N,I,K cùng nằm trên đường tròn đường kính IK

 

Gọi O' là trung điểm của IK

 

mà MKN = 60 $\Rightarrow$ MO'N = 120

 

$\Rightarrow$ MO' = $\frac{R\sqrt{3}}{3}$

 

 

 

 

[Juliel]

 

Bài 3: ($2$ point)

 b) Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là ước  chung của $a,b$. Chứng minh $d\leq \sqrt{a+b}$

 

Đặt $a=dm;b=dn$

 

$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\in Z\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$$\Rightarrow (d^{2}m^{2}+d^{2}n^{2}+dm+dn)\vdots (dm.dn) \Rightarrow d^{2}(m^{2}+n^{2})+d(m+n)\vdots d\Rightarrow m+n\vdots d\Rightarrow m+n\geq d\Rightarrow \frac{a}{d}+\frac{b}{d}\geq (a+b)\geq d^{2}\Rightarrow d\leq \sqrt{a+b}$

[Ha Manh Huu]

còn mỗi bài 2 
câu a ta tách ra thành (x+4)(x-1)(x+3)(x-2)=$(x^{2}+2x-8)(x^{2}+2x-3)$=24

đặt $x^{2} +2x=a $ là ra

câu b nhân 3 vế của hệ với nhau rồi căn 2 vế

[phatthemkem]

Không ai làm câu c) bài hình à