Chủ đề này có 3 trả lời

[25 minutes]

Bài 1: Giải phương trình sau : 

                 $\sin 4x +2=\cos 3x+4 \sin x+\cos x$

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

                 $x+1=m\sqrt[4]{x^4+1}$

Bài 3: Trên mỗi cạnh của hình vuông ta lấy $10$ điểm phân biệt ( khác với các đỉnh hình vuông ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có $3$ đỉnh là các điểm nêu trên 

Bài 4 : Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với $(ABC)$, $SA=x,AB=c,AC=b$ và $\widehat{BAC}=30^0$. Gọi $H,K$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $SB,SC$

 a, Tính $\frac{V_{SAHK}}{V_{S.ABC}}$

 b, Tính $V_{ABCHK}$

 c, Cho $2x^2 \geq b^2+c^2$. Chứng minh rằng: $\frac{V_{SAHK}}{V_{S.ABC}}\leq \frac{3}{4}$

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm Min của 

                $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}-\frac{3}{4}\left | (x-y)(y-z)(z-x) \right |$

[Ispectorgadget]

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm Min của 

                $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}-\frac{3}{4}\left | (x-y)(y-z)(z-x) \right |$

Ta sẽ chứng minh: $$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$$

Giả sử $z\ge y\ge x$ . Khi đó tồn tại $a,b\ge 0$ sao cho $$y=x+a;z=x+b; b\ge a$$

Thay vào ta được $$3xb(b-a)+3xa^2+(b-a)^3+\frac{3}{4}ab(b-a)+2a^3 \ge 0$$

Luôn đúng do $b\ge a\ge 0$

 

Ta có: $$P\ge \frac{x^3+y^3+z^3}{3}-\frac{x^3+y^3+z^3}{3}+xyz=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-05-2013 - 17:20

[caovannct]

Ta sẽ chứng minh: $$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)|$$

Giả sử $z\ge y\ge x$ . Khi đó tồn tại $a,b\ge 0$ sao cho $$y=x+a;z=x+b; b\ge a$$

Thay vào ta được $$3xb(b-a)+3xa^2+(b-a)^3+\frac{3}{4}ab(b-a)+2a^3 \ge 0$$

Luôn đúng do $b\ge a\ge 0$

 

Ta có: $$P\ge \frac{x^3+y^3+z^3}{3}-\frac{x^3+y^3+z^3}{3}-xyz=-1$$

Cho mình hỏi có cách nào tự nhiên hơn không? bởi vì cách bạn đưa ra thấy có vẻ hơi khó!

[ChiLanA0K48]

Bài 1: Giải phương trình sau : 

                 $\sin 4x +2=\cos 3x+4 \sin x+\cos x$

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

                 $x+1=m\sqrt[4]{x^4+1}$

Bài 3: Trên mỗi cạnh của hình vuông ta lấy $10$ điểm phân biệt ( khác với các đỉnh hình vuông ). Hỏi có bao nhiêu tam giác có $3$ đỉnh là các điểm nêu trên 

Bài 4 : Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với $(ABC)$, $SA=x,AB=c,AC=b$ và $\widehat{BAC}=30^0$. Gọi $H,K$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $SB,SC$

 a, Tính $\frac{V_{SAHK}}{V_{S.ABC}}$

 b, Tính $V_{ABCHK}$

 c, Cho $2x^2 \geq b^2+c^2$. Chứng minh rằng: $\frac{V_{SAHK}}{V_{S.ABC}}\leq \frac{3}{4}$

Bài 5: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm Min của 

                $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}-\frac{3}{4}\left | (x-y)(y-z)(z-x) \right |$

Bài 1: 

$sin4x+2=cos3x+4sinx+cosx\Leftrightarrow 4sinx.cosx.cos2x+2=2cosx(2cosx^2x-1)+4sinx\Leftrightarrow 4sinx.cosx.cos2x+2=2.cosx.cos2x+4sinx\Leftrightarrow 2sinx.cosx.cos2x+1=cosx.cos2x+2sinx\Leftrightarrow (2sinx-1)(cosx.cos2x-1)=0$

$\Rightarrow sinx=\frac{1}{2}$ hoặc $cosx.cox2x=1$

 

 Bài 3:

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số các điểm đã lấy trên cạnh là: $C_{4}^{1}.C_{10}^{2}.C_{1}^{3}.C_{10}^{1}+C_{4}^{3}.C_{10}^{1}.C_{10}^{1}.C_{10}^{1}$

Bài 4:

a) $\frac{V_{SAHK}}{V_{SABC}}=\frac{SH.SK}{SB.SC}=\frac{SH.SB.SK.SC}{SB^2.SC^2}=\frac{SA^4}{SB^2.SC^2}=\frac{x^4}{(x^2+c^2).(x^2+b^2)}$

b) $V_{SABC}=\frac{1}{3}SA.S_{ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.AC.sin30=\frac{xbc}{12}$

vậy $V_{ABCHK}=\frac{xbc[(x^2+c^2).(x^2+b^2)-x^4]}{12(x^2+c^2).(x^2+b^2)}$  

c) Với $2x^2\geq b^2+c^2\Leftrightarrow 4x^2\geq x^2+b^2+x^2+c^2\geq 2\sqrt{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}\Rightarrow 4x^4\geq (x^2+b^2)(x^2+c^2)\Rightarrow \frac{x^4}{(x^2+b^2)(x^2+c^2)}\geq \frac{1}{4}$

Suy ra $\frac{V_{SAHK}}{V_{SABC}}\geq \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{V_{ABCHK}}{V_{SABC}}\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 12-05-2015 - 20:44