Chủ đề này có 2 trả lời

[bugatti]

Cho a,b,c là các số dương và $ab+bc+ca=2abc$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a(2a-1)^{2}}+\frac{1}{b(2b-1)^{2}}+\frac{1}{c(2c-1)^{2}}\geq \frac{1}{2}$

[etucgnaohtn]

Cho a,b,c là các số dương và $ab+bc+ca=2abc$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a(2a-1)^{2}}+\frac{1}{b(2b-1)^{2}}+\frac{1}{c(2c-1)^{2}}\geq \frac{1}{2}$

ĐK : $a,b,c\neq \frac{1}{2}$ . Chia cả 2 vế của giả thiết cho $ abc \neq 0 $ ta được $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$

$\frac{1}{a(2a-1)^2}\geq \frac{1}{a}-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2+(a-2)(2a-1)^2}{2a(2a-1)^2}\geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{a(2a-3)^2}{2a(2a-1)^2}\geq 0$ Điều này đúng vì $a\neq \frac{1}{2}$ ; $a> 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 23-05-2013 - 17:29

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì x + y + z = 2 và ta cần chứng minh: $\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{y^3}{(2-y)^2}+\frac{z^3}{(2-z)^2}\geqslant \frac{1}{2}$ 

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được: $\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\geqslant \frac{3}{4}x\Rightarrow \frac{x^3}{(2-x)^2}\geqslant x-\frac{1}{2} $ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{y^3}{(2-y)^2}+\frac{z^3}{(2-z)^2}\geqslant x+y+z - \frac{3}{2} =\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$ hay $a=b=c=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 03-04-2021 - 16:03