Chủ đề này có 1 trả lời

[conan98md]

cho Δ ABC đều nội tiếp (O;R) ; M là 1 điểm trên cung nhỏ BC . Trên dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB   

 

1/ Tìm  vị trí của M trên cung nhỏ BC sao cho tổng MA+MB+MC lớn nhất

 

2/ gọi F là giao điểm của AM và BC . CM : $\frac{1}{MF}$ = $\frac{1}{MB}$ + $\frac{1}{MC}$

 

3/ CM : MA² + MB² + MC² = 6R²

[trauvang97]

cho Δ ABC đều nội tiếp (O;R) ; M là 1 điểm trên cung nhỏ BC . Trên dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB   

 

1/ Tìm  vị trí của M trên cung nhỏ BC sao cho tổng MA+MB+MC lớn nhất

 

2/ gọi F là giao điểm của AM và BC . CM : $\frac{1}{MF}$ = $\frac{1}{MB}$ + $\frac{1}{MC}$

 

3/ CM : MA² + MB² + MC² = 6R²

 

1. Tam giác $MEB$ có: $ME=MB$ và $\widehat{EMB}=60^{\circ}$ nên tam giác $MEB$ đều, suy ra $\widehat{EBM}=60^{\circ}$,

do đó $\widehat{ABE}=\widehat{CBM}=60^{\circ}-\widehat{CBE}$

 

$\bigtriangleup ABE=\bigtriangleup CBM(c.g.c)$ nên $AE=MC$, nên $MA+MB+MC=2MA\leq 2R$.

Dấu bằng đạt khi và chỉ khi $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$

 

2. $\bigtriangleup MBF\sim \bigtriangleup MAC(g.g)$ nên $\frac{MF}{MB}=\frac{MC}{MA},\frac{MF}{MC}=\frac{MB}{MA}$

 

Do đó: $\frac{MF}{MB}+\frac{MF}{MC}=\frac{MB+MC}{MA}=1\Rightarrow \frac{1}{MF}=\frac{1}{MB}+\frac{1}{MC}$

 

3. Đặt $MA=x$, $MB=y$. Ta có: $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2}-xy)$

 

Kẻ $BH\perp AM$, do $\widehat{BMH}=60^{\circ}$ nên: $MH=\frac{y}{2},BH^{2}=y^{2}-\left ( \frac{y}{2} \right )^{2}=\frac{3y^{2}}{4}$

 

Do đó: $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=x^{2}+y^{2}-xy$

 

Do đó: $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=2AB^{2}=6R^{2}$ (đpcm)