Chủ đề này có 1 trả lời

[tiendatlhp]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm min của:$P=(a+b)(b+c)(a+c)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

[Ispectorgadget]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm min của:$P=(a+b)(b+c)(a+c)+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}$

Ta có: $(a+b)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-1$

$$(ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ac \ge \sqrt{3(a+b+c)}$$

Do đó $$P\ge (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+\frac{72}{\sqrt{a+b+c+1}}-1$$

Đặt $t=a+b+c \ge 3$

$$P\ge t\sqrt{3t}+\frac{72}{\sqrt{t+1}}-1;f'(t) =\frac{3\sqrt{3t(t+1)^3}-72}{2\sqrt{(t+1)^3}}\ge 0; \forall t\ge 3$$

Do đó $f(t)$ đồng biến trên $[3;+\infty)$ nên $f(t)\ge f(3)=44$

Vậy min là 44 khi $a=b=c=1$