Chủ đề này có 1 trả lời

[TranLeHoang]

Đề bài: Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $x+y+z=6$

Chứng minh ràng: $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geqslant8$

[Juliel]

BĐT Schur :

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)=(6-2x)(6-2y)(6-2z)\Leftrightarrow xyz\geq 216+24(xy+yz+zx)-72(x+y+z)-8xyz\Leftrightarrow 9xyz\geq 24(xy+yz+zx)-216$   (1)

 

BĐT đã cho tương đương với :

 

 

$9(x^{2}+y^{2}+z^{2})-9(xy+yz+zx)+9xyz\geq 72$

Kết hợp với (1) : $9(x^{2}+y^{2}+z^{2})-9(xy+yz+zx)+24(xy+yz+zx)-216\geq 72\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)\leq 36\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^{2}\Leftrightarrow (x-z)^{2}+(y-z)^{2}+(x-y)^{2}\geq 0$

Điều này luôn đúng. Ta có đpcm