1 reply to this topic

[mystery266]

Cho các số thực dương a,b,c thoả abc=1 chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

[trauvang97]

Cho các số thực dương a,b,c thoả abc=1 chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:     

                $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Tương tự ta có: $2\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\frac{b}{\sqrt[3]{abc}}$

 

                         $2\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\geq 3\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:

 

 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=a+b+c$ (đpcm)

Edited by trauvang97, 31-05-2013 - 16:47.