Mình chỉ nghĩ được cách này, hơi vòng vo tam quốc ~.~
Trước tiên ta sẽ chứng minh $HC \perp AI$. Thật vậy, dễ thấy $HCMB$ nội tiếp (do $\angle BCM=\angle BHM=90^o$). Suy ra $\angle CHM=\angle CBM=\angle CDB=\angle HAC$.
Do đó $\angle HAC+\angle AHC=\angle CHM+\angle CHA=90^o$. Suy ra $\angle ACH=90^o$.
Dễ thấy $\triangle AHC \sim \triangle HIC \Rightarrow \dfrac{HI}{AH}=\dfrac{IC}{HC} \Rightarrow HI =\dfrac{AH.IC}{HC}$.
Mặt khác dễ thấy $DA \parallel OM$ nên theo Thales: $\dfrac{IM}{DA}=\dfrac{CI}{CA} \Rightarrow IM=\dfrac{DA.IC}{CA}$.
Như vậy từ việc chứng minh $HI=IM$ ta quy về chứng minh $\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{DA}{CA}$.
Nghĩa là ta cần chứng minh $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Gọi $F$ là giao điểm của $BI$ và $(O)$. Dễ thấy rằng $IF.IB=IC.IA \Rightarrow IF=IC$. Suy ra $HI$ là trung trực $CF$. Do đó $\angle CHI=\angle IHF$.
Ta chứng minh $D,H,F$ thẳng hàng. Gọi $F'$ là giao điểm của $DH$ và $(O)$. Thế thì $\angle HF'B=90^o$.
Mặt khác, $\triangle HIC=\triangle HIF$, do đó $\angle HFI=\angle HCI=90^o$. Suy ra $\angle HFB=90^o$.
Như thế $\angle HF'B=\angle HFB=90^o$. Vì $F$ và $F'$ đều nằm trên $(O)$ nên chúng trùng nhau. Tức $D,H,F$ thẳng hàng.
Bây giờ do $AH \perp AI$ và $AI$ là phân giác $\angle CHF$ nên $AI$ là phân giác $CHD$. Tức $\angle CHA=\angle AHD$. Suy ra $\triangle DAH \sim \triangle ACH$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.