Cho $a\geq c\geq 0$ ; $b\geq c$ CMR: $\sqrt{c\left ( a-c \right )}+\sqrt{c\left ( b-c \right )}\leq \sqrt{ab}$
CM $\sqrt{c\left ( a-c \right )}+\sqrt{c\left ( b-c \right )}\leq \sqrt{ab}$
Bắt đầu bởi MatRFLOL, 01-06-2013 - 00:12
#2
Đã gửi 01-06-2013 - 00:19
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a\geq c\geq 0$ ; $b\geq c$ CMR: $\sqrt{c\left ( a-c \right )}+\sqrt{c\left ( b-c \right )}\leq \sqrt{ab}$
BĐT tương đương với $\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}+\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}\leq 1$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $\sqrt{\frac{c(a-c)}{ab}}\leq \frac{\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}}{2};\sqrt{\frac{c(b-c)}{ab}}\leq \frac{\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}}{2}$. Cộng 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm
- MatRFLOL, nhatquangsin, chuyentoan1998 và 1 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 01-06-2013 - 10:15
banhgaongonngon
-
- Thành viên
-
- 1046 Bài viết
Thượng úy
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{(b-c)c}\leq \sqrt{(c+b-c)(a-c+c)}=\sqrt{ab}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
