3 replies to this topic

[Katyusha]

Cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$. Đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ tương ứng tại $E,D$. $DE$ cắt $BC$ tại $F$. Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc $BC$ cắt $AF$ tại $N$. Chứng minh $ND$ là tiếp tuyến của $(O)$.

 

 

 

 

[dungvuvanqctb97]

•  AF là đường đôí cưc cuả H,nên H thuôc đường đôí cưc cuả N
•  B cũng thuôc đường đôí cưc cuả N

  do đó BD là đường đôí cưc cuả N

  vâỵ ND là tiêp tuyên cuả (O)

[Katyusha]

Cám ơn bạn nhiều Cho mình hỏi thêm là nếu không sử dụng kiến thức về đối cực thì có thể xử lý được bài này không? Nó là một phần của đề thi tuyển sinh lớp 10.

[perfectstrong]

Đây có thể coi là 1 hệ quả của định lý Pascal cho bộ 6 điểm $(B;B;E;D;D;C)$.

Nhưng để phù hợp đề thi vào lớp 10, ta sẽ chứng minh "lại" như sau:

Vẽ $(FBE)$ cắt $(DEA)$ tại $I$ và tiếp tuyến tại $D,B$ cắt nhau tại $N'$.

\[
\begin{array}{rcl}
 \angle BID &=& \angle BIE + \angle DIE \\
  &=& \angle BFE + \angle EAD \\
  &=& \angle EBC - \angle BEF + \angle EDC - \angle AED \\
  &=& 180^o  - 2\angle BCD = 180^o  - \angle BOD \\
 \end{array}
\]

Từ đây suy ra $IBOD$ là tứ giác nội tiếp. (1)

Vì $\angle BN'O=\angle DN'O=90^o$ nên $B,N',D,'O$ đồng viên. (2)

Từ (1),(2) suy ra $I,N',B,O,D$ đồng viên. (3)

Không mất tính tổng quát, ta xét trường hợp $N',F$ cùng phía với $I,O$.

\[
\left( 3 \right) \Rightarrow \angle N'IB = \angle N'OB = \frac{1}{2}\angle BOD = \angle BCD = \angle BEF = \angle BIF
\]
Suy ra $I,N',F$ thẳng hàng. Mà dễ thấy $F,I,A$ thẳng hàng nên suy ra $F,N',A$ thẳng hàng.

Tức $N' \equiv N \Rightarrow ND$ là tiếp tuyến của $(O)$.