Chủ đề này có 2 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài toán 1:Cho $a,b,c$ là 3 số dương và $a\geq b,c$.Tìm min:

$$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$$

 

Bài toán 2:Cho $a,b,c> 0$ là các hằng số và $x,y,z> 0$ là các biến sao cho:$ax+by+cz=xyz$.Tìm $minP=x+y+z$

 

 

[vutuanhien]

Bài toán 2:Cho $a,b,c> 0$ là các hằng số và $x,y,z> 0$ là các biến sao cho:$ax+by+cz=xyz$.Tìm $minP=x+y+z$

Bài toán này có vẻ rất khó  . Đây là hướng giải của em với bài toán này, còn trình bày lại thì phiền anh tự làm 

Giả sử đẳng thức xảy ra khi $x=m,y=n,z=p$. Áp dụng BĐT AM-GM suy rộng, ta có 

$x+y+z=m.\frac{x}{m}+n.\frac{y}{n}+p.\frac{z}{p}\geq (m+n+p)\left [ (\frac{x}{m})^m(\frac{y}{n})^n(\frac{z}{p})^p \right ]^{\frac{1}{m+n+p}}$

$ax+by+cz=am.\frac{x}{m}+bn.\frac{y}{n}+cp.\frac{z}{p}\geq (am+bn+cp)\left [ (\frac{x}{m})^{am}(\frac{y}{n})^{bn}(\frac{z}{p})^{zp} \right ]^{\frac{1}{am+bn+cp}}$

Từ 2 BĐT này ta suy ra $(x+y+z)^2(ax+by+cz)\geq P(\frac{x}{m})^{\frac{2m}{m+n+p}+\frac{am}{am+bn+cp}}(\frac{y}{n})^{\frac{2n}{m+n+p}+\frac{bn}{am+bn+cp}}(\frac{z}{p})^{\frac{2p}{m+n+p}+\frac{cp}{am+bn+cp}}$ với $P=(m+n+p)^2(am+bn+cp)$. 

Để tận dụng giả thiết $ax+by+cz=xyz$ thì ta sẽ để cho các số mũ bằng 1, tức là:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2m}{m+n+p} &+ &\frac{am}{am+bn+cp}= &1 \\ \frac{2n}{m+n+p} &+ &\frac{bn}{am+bn+cp}= &1 \\ \frac{2p}{m+n+p} &+ &\frac{cp}{am+bn+cp}= &1 \end{matrix}\right.$

Đặt $A=\frac{1}{m+n+p},B=\frac{1}{am+bn+cp}$ thì hệ pt trở thành

$\left\{\begin{matrix} a &= &\frac{1}{2A+aB} \\ b &= &\frac{1}{2A+bB} \\ c &= &\frac{1}{2A+cB} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{1}{2A+aB}+\frac{1}{2A+bB}+\frac{1}{2A+cB}$. Nhận thấy VT là 1 hàm không liên quan đến B, còn VP là 1 hàm giảm theo B, cho nên nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Tìm được nghiệm của hệ này, chẳng hạn $A=tB$. Khi đó ta biểu diễn đc $m,n,p$ dưói B, rồi dùng giả thiết ta tìm được $m,n,p$. Từ đây suy ra $(x+y+z)^2\geq \frac{(m+n+p)^2(am+bn+cp)xyz}{mnp(ax+by+cz)}=(m+n+p)^2=const$ (xong)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-06-2013 - 21:25

[vutuanhien]

Để giải pt trên, ta có thể làm như sau:Giả sử pt có nghiệm $A=tB$. Thay $A=tB$ vào pt rồi triệt tiêu B, ta được $\frac{1}{t}=\frac{1}{2t+a}+\frac{1}{2t+b}+\frac{1}{2t+c}\Leftrightarrow -4t^3+t(ab+bc+ca)+abc=0$. Bằng cách sử dụng công thức Cardano hoặc hệ thức Vi-ét cho pt bậc ba, ta dễ dàng tìm được $t$  . Khi đó biểu diễn được $m,n,p$ thông qua B, và sử dụng giả thiết $ax+by+cz=xyz$, ta tìm đc B, và do đó dễ dàng tìm đc $m,n,p$