Chủ đề này có 1 trả lời

[barcavodich]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp.Gội $M$,$N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BD$.$E$,$F$ lần lượt là giao của $AB$ với $CD$ , $AD$ với $BC$

CMR $\frac{2MN}{EF}=\left|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|$.

NGUỒN :ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI DỰ TUYỂN IMO 2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 06-06-2013 - 21:38

[dactai10a1]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp.Gội $M$,$N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BD$.$E$,$F$ lần lượt là giao của $AB$ với $CD$ , $AD$ với $BC$

CMR $\frac{2MN}{EF}=\left|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|$.

NGUỒN :ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI DỰ TUYỂN IMO 2013

Đặt $\widehat {AEB} = \gamma ,EC = c,ED = d,\overrightarrow i = \frac{{\overrightarrow {EC} }}{c},\overrightarrow j = \frac{{\overrightarrow {ED} }}{d}$
Vì ABCD nội tiếp nên $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{BE}}{{DE}} = k$
Suy ra $\overrightarrow {EA} = kc\overrightarrow j ;\overrightarrow {EB} = kd\overrightarrow i $
Vì F thuộc AC và BD nên tồn tại cặp số x,y thỏa mãn
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\overrightarrow {{\rm{EF}}}  = x\overrightarrow {EA}  + (1 - x)\overrightarrow {EC}  = xkc\vec j + (1 - x)c\vec i}\\

{\overrightarrow {{\rm{EF}}}  = y\overrightarrow {EB}  + (1 - y)\overrightarrow {ED}  = ykd\vec i + (1 - y)d\vec j}

\end{array}} \right.$

 

Do $\overrightarrow i ;\overrightarrow j $ khác phương nên xkc=(1-y)d và ykd=(1-x)c. Suy ra $x = \frac{{kd - c}}{{({k^2} - 1)c}}$
Vậy $\overrightarrow {{\rm{EF}}} = \frac{k}{{{k^2} - 1}}((kd - c)\overrightarrow j + (kc - d)\overrightarrow i ) \Rightarrow {\rm{E}}{{\rm{F}}^2} = {\left( {\frac{k}{{{k^2} - 1}}} \right)^2}\left[ {{{(kd - c)}^2} + {{(kc - d)}^2} + 2(kd - c)(kc - d)c{\rm{os}}\gamma } \right]$
Mặt khác ta có $\overrightarrow {MN} = \frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {ED} - \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EC} - \overrightarrow {EB} }}{2} = \frac{{(d - kc)\overrightarrow j + (c - dk)\overrightarrow j }}{2} \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{{(d - kc)}^2} + {{(c - dk)}^2} + 2(d - kc)(c - dk)c{\rm{os}}\gamma }}{4}$
Từ đây ta có $\frac{{M{N^2}}}{{{\rm{E}}{{\rm{F}}^2}}} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{{{k^2} - 1}}{k}} \right)^2} = \frac{1}{4}{\left( {k - \frac{1}{k}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{MN}}{{{\rm{EF}}}} = \frac{1}{2}\left| {k - \frac{1}{k}} \right| = \frac{1}{2}\left| {\frac{{AB}}{{CD}} - \frac{{CD}}{{AB}}} \right|$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 08-06-2013 - 15:46