Chủ đề này có 3 trả lời

[thienminhdv]

Cho $x,y,z$ là các số  thực  dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$P=\cfrac{x}{\sqrt{3x^2+yz}}+\cfrac{y}{\sqrt{3y^2+zx}}+\cfrac{z}{\sqrt{3z^2+xy}}$.

[thanhdotk14]

Cho $x,y,z$ là các số  thực  dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$P=\cfrac{x}{\sqrt{3x^2+yz}}+\cfrac{y}{\sqrt{3y^2+zx}}+\cfrac{z}{\sqrt{3z^2+xy}}$.

Bài giải:

Ta cần chứng minh $P\le \frac{3}{2}$

Vì $x,y,z>0$ nên bất đẳng thức trên tương đương với:

$$\frac{1}{\sqrt{3+\frac{yz}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{3+\frac{zx}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{3+\frac{xy}{z^2}}}\leq \frac{3}{2}(1)$$

Đặt $\frac{yz}{x^2}=a,\frac{zx}{y^2}=b,\frac{xy}{z^2}=c(a,b,c>0)$

$\Rightarrow abc=1$

$\Rightarrow a+b+c\ge 3$

$\Rightarrow ab+bc+ca\ge \sqrt{3abc(a+b+c)}\ge 3$

Khi đó $(1)$ tương đương với:

$$\frac{1}{\sqrt{3+a}}+\frac{1}{\sqrt{3+b}}+\frac{1}{\sqrt{3+c}}\leq \frac{3}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{\sum \sqrt{\left ( 3+ a\right )\left ( 3+b \right )}}{\sqrt{\prod (3+a)}}\leq \frac{3}{2}(2)$$

Nhưng:

$$VT(2)\leq \frac{\sqrt{3 \sum\left( 3+a \right )\left ( 3+b \right )}}{\sqrt{\prod \left ( 3+a \right )}}=\frac{\sqrt{3\left [ 27+6\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca \right ]}}{\sqrt{27+9\left ( a+b+c \right )+3\left ( ab+bc+ca \right )+abc}}$$

Ta cần chứng minh:

$$\frac{3\left [ 27+6\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca \right] }{28+9\left ( a+b+c \right )+3(ab+bc+ca)}\leq \frac{9}{4}(3)$$

$$\Leftrightarrow 3(a+b+c)+5(ab+bc+ca)\ge 24$$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng.

Vậy ta có đpcm 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 08-06-2013 - 09:54

[nguyenthehoan]

Bài giải:

Ta cần chứng minh $P\le \frac{3}{2}$

Vì $x,y,z>0$ nên bất đẳng thức trên tương đương với:

$$\frac{1}{\sqrt{3+\frac{yz}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{3+\frac{zx}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{3+\frac{xy}{z^2}}}\leq \frac{3}{2}(1)$$

Đặt $\frac{yz}{x^2}=a,\frac{zx}{y^2}=b,\frac{xy}{z^2}=c(a,b,c>0)$

$\Rightarrow abc=1$

$\Rightarrow a+b+c\ge 3$

$\Rightarrow ab+bc+ca\le 3$

Khi đó $(1)$ tương đương với:

$$\frac{1}{\sqrt{3+a}}+\frac{1}{\sqrt{3+b}}+\frac{1}{\sqrt{3+c}}\leq \frac{3}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{\sum \sqrt{\left ( 3+ a\right )\left ( 3+b \right )}}{\sqrt{\prod (3+a)}}\leq \frac{3}{2}(2)$$

Nhưng:

$$VT(2)\leq \frac{\sqrt{3 \sum\left( 3+a \right )\left ( 3+b \right )}}{\sqrt{\prod \left ( 3+a \right )}}=\frac{\sqrt{3\left [ 27+6\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca \right ]}}{\sqrt{27+9\left ( a+b+c \right )+3\left ( ab+bc+ca \right )+abc}}$$

$$\leq \frac{\sqrt{3\left [30+6\left ( a+b+c \right ) \right ]}}{\sqrt{28+9\left ( a+b+c \right )+3\sqrt{3\left ( a+b+c \right )}}}$$ (Vì $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$)

Ta cần chứng minh:

$$\frac{3\left [ 30+6\left ( a+b+c \right ) \right] }{28+9\left ( a+b+c \right )+3\sqrt{3\left ( a+b+c \right )}}\leq \frac{9}{4}(3)$$

Đặt $x=a+b+c$ 

$\Rightarrow x\ge 3$

Khi đó $(3)$ tương đương với:

$$f\left ( x \right )=\frac{3\left ( 30+6x \right )}{28+9x+3\sqrt{3x}}\leq \frac{9}{4}$$

Nhưng ta dễ dàng thấy $f'(x)<0$ với $x\in \left[3;+\infty \right)$

$\Rightarrow$ Hàm $f$ nghịch biến trong $x\in \left[3;+\infty \right)$

Do đó $f(x)\le f(3)=\frac{9}{4}$

Từ đó ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=3\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z$

Bài của bạn sai phần màu đỏ rồi!!!

[thanhdotk14]

Bài của bạn sai phần màu đỏ rồi!!!

Uh mình nhầm, mình đã sửa, tks bạn nha!!!