Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $4xy+2xz+6y+3z-7x=35$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{xy}{x+y}+\cfrac{2y}{2+y}+\cfrac{3z}{3+z}$
Tìm Max $P=\cfrac{xy}{x+y}+\cfrac{2y}{2+y}+\cfrac{3z}{3+z}$.
Bắt đầu bởi thienminhdv, 07-06-2013 - 20:14
#2
Đã gửi 07-06-2013 - 20:57
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $4xy+2xz+6y+3z-7x=35$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{xy}{x+y}+\cfrac{2y}{2+y}+\cfrac{3z}{3+z}$
Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau bằng Cauchy-Schwarzt
$\frac{a_1b_1}{a_1+b_1}+\frac{a_2b_2}{a_2+b_2}+\frac{a_3b_3}{a_3+b_3} \leq \frac{(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)}{a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3}$
Áp dụng ta có $P \leq \frac{(x+2+3)(y+y+z)}{x+y+2+y+3+z}=\frac{(x+5)(2y+z)}{x+5+2y+z}$
$\Rightarrow 2P \leq \frac{2(x+5)(2y+z)}{x+5+2y+z}=\frac{(2x+3)(2y+z)+7(2y+z)}{x+5+2y+z}$
Từ giả thiết ta có được $(2x+3)(2y+z)=7(x+5)$
$\Rightarrow 2P \leq \frac{(2x+3)(2y+z)+7(2y+z)}{x+5+2y+z}=\frac{7(x+5)+7(2y+z)}{x+5+2y+z}=7$
$\Rightarrow P \leq \frac{7}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 08-06-2013 - 20:50
- jb7185, ninhxa, MatRFLOL và 6 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
