Chủ đề này có 2 trả lời

[mango]

Cho a,b,c >0. CMR:

$a^2+b^2+c^2+2abc+3\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

[nthoangcute]

BĐT tương đương với $$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(a-1)(b-1)(c-1) \geq 0$$

Nếu $(a-1)(b-1)(c-1) \geq 0$ thì khỏ phải bàn

Nếu $(a-1)(b-1)(c-1)<0$ thì không mất tính tổng quát: $(c-1)<0$ và $(a-1)(b-1)>0$

Do $c>0$ nên $0>(c-1)>-1$ suy ra $(a-1)(b-1)(c-1)>-(a-1)(b-1)$

Suy ra $VT>(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2-(a-1)(b-1) \geq 0$

[banhgaongonngon]

$\mathrm{BDT}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+2\geq a+b+c+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2abc+4\geq 2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca$

Ta có hai bất đẳng thức sau

• $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ca$
• $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2a+2b+2c$

Cộng từng vế 2 BĐT trên ta được đpcm