Trung sĩ
MM'.NN',PP" là ba đường trung trực của tam giác ABC. Cho PP'=AC; NN'=BC; MM'=AB. Cho ba đường thẳng (d1)(d2),(d3) lần lượt đi qua M';N';P' và song song với các cạnh tương ứng của tam giác. (d1)⋂AC,BC = A1,A6; (d2)⋂BA,BC = A2,A3; (d3)⋂CB,CA = A4,A5;
Chứng minh: A1,A2,A3,A4,A5,A6 nội tiếp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 10-06-2013 - 01:27
Hạ sĩ
MM'.NN',PP" là ba đường trung trực của tam giác ABC. Cho PP'=AC; NN'=BC; MM'=AB. Cho ba đường thẳng (d1)(d2),(d3) lần lượt đi qua M';N';P' và song song với các cạnh tương ứng của tam giác. (d1)⋂AC,BC = A1,A6; (d2)⋂BA,BC = A2,A3; (d3)⋂CB,CA = A4,A5;
Chứng minh: A1,A2,A3,A4,A5,A6 nội tiếp
Giải như sau: (Dùng hình của bạn nhé! 
)
Ta có: $\angle A_6A_1C= \angle BA_2A_3 \to \frac{AA_1}{AA_2}=\frac{MM'}{PP'}=\frac{AB}{AC}$. Suy ra: $\Delta A_1AA_2 \sim \Delta BAC$
Nên: $\angle ABC=\angle AA_1A_2 \to$ Tứ giác $A_1A_2BC$ nội tiếp và cũng suy ra: $\angle A_1A_6A_3=180^o-\angle A_1A_2A_3$
Do đó tứ giác $A_6A_1A_2A_3$ nội tiếp. $(1)$
Tương tự cũng chứng minh được các tứ giác: $A_3A_4BA$ và $A_5A_6AC$ nội tiếp.
Từ $A_3A_4BA$ nội tiếp có: $\angle ABC=\angle A_3A_4A_1 \to \angle A_3A_4A_1=\angle A_2A_1A_4 \to A_1A_2A_3A_4$ là hình thang cân, hiển nhiên là tứ giác nội tiếp. $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ dẫn đến $A_1,A_2,A_3,A_4,A_6$ đồng viên.
Tương tự cũng có tứ giác $A_1A_2A_5A_6$ là hình thang cân nên nội tiếp. $(3)$
Kết hợp tất cả các điều ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Collection: 10-06-2013 - 07:28
Trung sĩ
(d1) giao (d2) giao (d3) tại A',B',C'. Chứng minh tâm đường tròn đi qua sáu điểm A1A2A3A4A5A6 ở trên là trung điểm của đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A'B'C'. Khi do O,I,K thang hang va OI=KI
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 10-06-2013 - 17:19
Hạ sĩ
(d1) giao (d2) giao (d3) tại A',B',C'. Chứng minh tâm đường tròn đi qua sáu điểm A1A2A3A4A5A6 ở trên là trung điểm của đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A'B'C'. Khi do O,I,K thang hang va OI=KI
Nhỡ theo đuổi rồi, xử luôn.
Giải như sau:
Gọi $M_1,M_2,M_3$ lần lượt là trung điểm của $A_1A_2,A_3A_4,A_5A_6$.
Gọi $O_1,O_2,O_3$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, $\Delta A'B'C'$.
Từ một bổ đề quen thuộc có $AA',BB',CC'$ đồng quy. Gọi $X$ là điểm đồng quy.
Xét $V_X^k : A \to A' ; B \to B' ; C \to C'$ và $V_X^{k'}: A \to M_1, B \to M_3; C \to M_2$. Vì $A,M_1,A'$ cùng phương và $M_1$ là trung điểm của $A A'$, tương tự đối với $B,C$, nên qua phép vị tự $V_X^k$ biến $O_1$ thành $O_3$, và$V_X^{k'}$ biến $O_1$ thành $O_2$, rõ ràng $O_1,O_2,O_3$ cùng phương và $O_2$ là trung điểm của $O_1O_3$.
Mặt khác gọi ta có $O_2M_1=O_2M_2=O_2M_3$, nhưng để ý rằng $M_1,M_2,M_3$ là trung điểm của $A_1A_2,A_3A_4,A_5A_6$, lại có $A_1A_2=A_3A_4=A_5A_6$ nên theo Pythagores dễ dàng suy ra $O_2A_1=O_2A_2=O_2A_3=O_2A_4=O_2A_5=O_2A_6$, do vậy $O_2$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Và đó là đpcm.
Trung sĩ
Nhỡ theo đuổi rồi, xử luôn.
Giải như sau:
Gọi $M_1,M_2,M_3$ lần lượt là trung điểm của $A_1A_2,A_3A_4,A_5A_6$.
Gọi $O_1,O_2,O_3$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, $\Delta A'B'C'$.
Từ một bổ đề quen thuộc có $AA',BB',CC'$ đồng quy. Gọi $X$ là điểm đồng quy.
Xét $V_X^k : A \to A' ; B \to B' ; C \to C'$ và $V_X^{k'}: A \to M_1, B \to M_3; C \to M_2$. Vì $A,M_1,A'$ cùng phương và $M_1$ là trung điểm của $A A'$, tương tự đối với $B,C$, nên qua phép vị tự $V_X^k$ biến $O_1$ thành $O_3$, và$V_X^{k'}$ biến $O_1$ thành $O_2$, rõ ràng $O_1,O_2,O_3$ cùng phương và $O_2$ là trung điểm của $O_1O_3$.
Mặt khác gọi ta có $O_2M_1=O_2M_2=O_2M_3$, nhưng để ý rằng $M_1,M_2,M_3$ là trung điểm của $A_1A_2,A_3A_4,A_5A_6$, lại có $A_1A_2=A_3A_4=A_5A_6$ nên theo Pythagores dễ dàng suy ra $O_2A_1=O_2A_2=O_2A_3=O_2A_4=O_2A_5=O_2A_6$, do vậy $O_2$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Và đó là đpcm.
1- Ý đầu tiên chứng minh được rồi. Còn ý chứng minh IO=IK mà.
2-Bạn chứng minh cho một bài khác nhé:
AN,BM,CP đường cao của tam giác ABC. A' thuộc AM; BM through B'. C' thuộc CP. Cho hệ thức A'A/AM=B'B/BN=C'C/CP. Đường tròn tâm A', B',C' bán kính A'A, B'B,C'C. (A')⋂AB=A1; (A')⋂AC=A2; (B')⋂AB=A6; (B')⋂BC=A5; (C')⋂AC=A3; (C')⋂CB=A4.
1- A1,A2,A3,A4,A5,A6 nằm trên một đường tròn.
2-Chứng minh rằng khi k thay đổi thì tâm đường tròn đi qua sáu điểm trên sẽ di động trên một đường thẳng cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 10-06-2013 - 22:27
Hạ sĩ
1- Ý đầu tiên chứng minh được rồi. Còn ý chứng minh IO=IK mà.
2-Bạn chứng minh cho một bài khác nhé:
AN,BM,CP đường cao của tam giác ABC. A' thuộc AM; BM through B'. C' thuộc CP. Cho hệ thức A'A/AM=B'B/BN=C'C/CP. Đường tròn tâm A', B',C' bán kính A'A, B'B,C'C. (A')⋂AB=A1; (A')⋂AC=A2; (B')⋂AB=A6; (B')⋂BC=A5; (C')⋂AC=A3; (C')⋂CB=A4.
=> A1,A2,A3,A4,A5,A6 nằm trên một đường tròn.
Mình đã chứng minh nó là trung điểm rồi mà? Bạn vui lòng đọc lại post của mình !
Hạ sĩ
1- Ý đầu tiên chứng minh được rồi. Còn ý chứng minh IO=IK mà.
2-Bạn chứng minh cho một bài khác nhé:
AN,BM,CP đường cao của tam giác ABC. A' thuộc AM; BM through B'. C' thuộc CP. Cho hệ thức A'A/AM=B'B/BN=C'C/CP. Đường tròn tâm A', B',C' bán kính A'A, B'B,C'C. (A')⋂AB=A1; (A')⋂AC=A2; (B')⋂AB=A6; (B')⋂BC=A5; (C')⋂AC=A3; (C')⋂CB=A4.
1- A1,A2,A3,A4,A5,A6 nằm trên một đường tròn.2-Chứng minh rằng khi k thay đổi thì tâm đường tròn đi qua sáu điểm trên sẽ di động trên một đường thẳng cố định
Bạn xem lại đề ý $2$, mình không biết $k$ là gì =.=
Ý $1$. Giải như sau:
Gọi $X_1,X_2,X_3$ lần lượt là giao điểm của $AA',BB',CC'$ với $(A'), (B'),(C')$ như hình vẽ.
Ta có: $\angle AA_1A_2=\angle AX_1A_2=\angle AHN = \angle ACB$.
Suy ra: $\Delta AA_1A_2 \sim \Delta ACB (g.g)$.
Tương tự: $\Delta A_5A_6B \sim \Delta A_4CA_3 \sim \Delta ACB$
Mặt khác theo đề ra có: $\frac{AA'}{BB'}=\frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BC} \to \frac{BA_5}{AA_2}=\frac{BC}{AC} \to A_2A_5 // AB$
Có $\angle BPA_5=\angle AA_1A_2 \to A_1A_2A_5A_6$ là hình thang cân, hiển nhiên nội tiếp.
Tương tự ta suy ra: $A_3A_4A_5A_6, A_1A_2A_3A_4$ là các hình thang cân, hiển nhiên nội tiếp.
Và $\angle A_3A_4C= \angle BAC= \angle A_5A_2C \to A_2A_3A_4A_5$ là tứ giác nội tiếp.
Từ tất cả các điều trên suy ra $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ đồng viên, đó là đpcm.
Hạ sĩ
1- Ý đầu tiên chứng minh được rồi. Còn ý chứng minh IO=IK mà.
2-Bạn chứng minh cho một bài khác nhé:
AN,BM,CP đường cao của tam giác ABC. A' thuộc AM; BM through B'. C' thuộc CP. Cho hệ thức A'A/AM=B'B/BN=C'C/CP. Đường tròn tâm A', B',C' bán kính A'A, B'B,C'C. (A')⋂AB=A1; (A')⋂AC=A2; (B')⋂AB=A6; (B')⋂BC=A5; (C')⋂AC=A3; (C')⋂CB=A4.
1- A1,A2,A3,A4,A5,A6 nằm trên một đường tròn.2-Chứng minh rằng khi k thay đổi thì tâm đường tròn đi qua sáu điểm trên sẽ di động trên một đường thẳng cố định
Nếu $k$ ở đây là tỉ số hệ thức ban đầu, mình nghĩ rằng có thể lý giải trên ngôn ngữ của phép biến hình, tức là cố định với $k$ ban đầu, cho tỉ số đó bằng $k'$, thì sẽ tồn tại một phép biến hình biến các đỉnh của lục giác thành lục giác mới , biến $A',B',C'$ thành những điểm $A'',B'',C''$. Nếu mình đoán không lầm thì đây là phép vị tự (cũng tương tự bài toán ban đầu), và hiển nhiên, tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác cũng sẽ biến đổi, nhưng trên 1 đường thẳng nhất định.
Ý tưởng là thế, nhưng thực sự mình không biết viết thế nào cho thỏa đáng, đành phải nhờ các bạn hoàn thành vậy ! Chúc bạn thành công !
Trung sĩ
M,N,P là trung điêm ba cạnh AB,BC,CA. là trong tâm tam giác ABC. Tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác (AGP),(BGP),(BGN),(CGN),(BGM),(CGM) nằm trên một đường tròn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongghen: 11-06-2013 - 15:49
Hạ sĩ
M,N,P là trung điêm ba cạnh AB,BC,CA. là trong tâm tam giác ABC. Six points circumcircle of (AGP),(BGP),(BGN),(CGN),(BGM),(CGM) nằm trên một đường tròn.
Bạn có thể tạo một chủ đề mới, mỗi chủ đề nói về một bài toán, mấy bài này chỉ giống nhau về kết luận chứ chả có anh em gì cả :|
Xin lỗi vì đã Spam!
Với lại cái kiểu post bài vừa Tiếng Việt vừa Tiếng Anh đó không ai thích đâu bạn ạ.
Mình dừng ở đây, chào bạn !
Trung sĩ
Bạn có thể tạo một chủ đề mới, mỗi chủ đề nói về một bài toán, mấy bài này chỉ giống nhau về kết luận chứ chả có anh em gì cả :|
Xin lỗi vì đã Spam!
Với lại cái kiểu post bài vừa Tiếng Việt vừa Tiếng Anh đó không ai thích đâu bạn ạ.
Mình dừng ở đây, chào bạn !
Tại sao bạn lại dừng ở đây? hihi. Ban đầu mình đưa trên facebook của mình bằng tiếng anh, sau đó coppy lại nhưng không để ý nên chưa chuyển hết sang tiếng việt. Bạn thông cảm mình đã sửa rồi.
Trung sĩ
Tối nay tôi mới biết bài toán #2,#5 đã được đề cập tại đây:
http://mathworld.wol...oineCircle.html
http://mathworld.wol...ylorCircle.html
http://mathworld.wol...sineCircle.html
Hạ sĩ
Tối nay tôi mới biết bài toán #2,#5 đã được đề cập tại đây:
http://mathworld.wol...oineCircle.html
http://mathworld.wol...ylorCircle.html
Thế các bài này là do bác sáng tác ạ? Vì cháu chưa thấy bao giờ!
Trung sĩ
Thế các bài này là do bác sáng tác ạ? Vì cháu chưa thấy bao giờ!
Tất cả các bài chú viết trên diễn đàn này đều do chú sáng tạo ra hết. Chú đã gửi thư đến tổng biên tập một tạp chí hình học nước ngoài ông ý có nói cho chú biết là nếu chú chứng minh được thì ông ý sẽ giúp chú viết thành một bài báo ngắn.
Lính mới
làm răng để chứng minh AA';BB';CC' đồng quy được ạ ???
nắng buồn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
