Chủ đề này có 1 trả lời

[nhocmini95]

Trong không gian tọa độ  Oxyz, cho hình thoi  ABCD có diện tích bằng $12\sqrt{2}$, đỉnh  A thuộc Oz, đỉnh C thuộc Oxy, B và D thuộc  d:$\frac{X}{1}=\frac{Y}{1}=\frac{z+1}{2}$. B có hoành độ dương . Tìm tọa độ A.B.C.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhocmini95: 10-06-2013 - 12:07

[trangxoai1995]

Trong không gian tọa độ  Oxyz, cho hình thoi  ABCD có diện tích bằng $12\sqrt{2}$, đỉnh  A thuộc Oz, đỉnh C thuộc Oxy, B và D thuộc  d:$\frac{X}{1}=\frac{Y}{1}=\frac{z+1}{2}$. B có hoành độ dương . Tìm tọa độ A.B.C.D

HD: Gọi I là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng BD có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;1;2)$, A thuộc Oz nên $A(0;0;a)$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A nhận $\overrightarrow{u}$ là véc tơ pháp tuyến là: $x+y+2z-2a=0$.

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right. & \\ x+y+2z-2a=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow I\left ( \frac{a+1}{3};\frac{a+1}{3};\frac{2a-1}{3} \right )$$\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right. & \\ x+y+2z-2a=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow I\left ( \frac{a+1}{3};\frac{a+1}{3};\frac{2a-1}{3} \right )$

$\Rightarrow C\left ( \frac{2a+2}{3};\frac{a+1}{3};\frac{a-2}{3} \right )$. Mặt khác, C thuộc Oxy nên $z=0\Rightarrow a=2$. Từ đây ta có: $A(0;0;2)$; $I(1;1;1)$; $C(2;1;1)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC}(2;1;-1)\Rightarrow AC=\sqrt{6}$.

Theo đề bài: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=12\sqrt{2}\Leftrightarrow BD=8\sqrt{3}$

Giả sử $B(t_1;t_1;-1+2t_1)$; $D(t_2;t_2;-1+2t_2)$$\Rightarrow \overrightarrow{BD}(t_2-t_1;t_2-t_1;2t_2-2t_1)\Rightarrow 6(t_1-t_2)^2=192\Leftrightarrow (t_1-t_2)^2=32$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t_1-t_2=4\sqrt{2} & \\ t_1-t_2=-4\sqrt{2} & \end{bmatrix}$

Mặt khác, I lại là trung điểm của BD nên: $t_1+t_2=2$

Đến đây giải các hệ sau để tìm ra nốt tọa độ điểm B và D:

$\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=2 & \\ t_1-t_2=4\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} t_1-t_2=-4\sqrt{2} & \\ t_1+t_2=2 & \end{matrix}\right.$