Câu 1: Gỉa sử ${C_0}$ là không gian Banach các dãy hội tụ tới 0, với chuẩn. $\left\| x \right\| = \mathop {\sup }\limits_n \left| {{x_n}} \right|,\forall x = \left\{ {{x_n}} \right\} \in {C_0}$
Cho ánh xạ $T:{C_0} \to {C_0}$ bởi công thức
$T(x) = \left\{ {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2}}{x_n}} \right\},\forall x = {\rm{\{ }}{x_n}{\rm{\} }} \in {C_0}$
a. Chứng minh T tuyến tính liên tục; tính chuẩn của T
b. Tìm phổ của T.
Câu 2:
a. Cho g: ${C_0} \to {C_0}$ bởi công thức
$g({\rm{\{ }}{x_n}{\rm{\} }}) = {\rm{\{ }}{x_1},{x_2},0,0,...{\rm{\} }},\forall x = {\rm{\{ }}{x_n}{\rm{\} }} \in {C_0}.$
Chứng minh g là ánh xạ Compact
b.Chứng minh rằng nếu {${x_n}$} là dãy trong không gian định chuẩn X và {${x_n}$} hội tụ tới x theo chuẩn trong X thì {${x_n}$} hội tụ yếu tới x.
Câu 1 (a) Để chứng minh $T$ tuyến tính, chỉ cần kiểm tra $T(x+y) = T(x) + T(y)$ và $T(\lambda x) = \lambda x$. Hai điều này dễ thấy! Để chứng minh $T$ liên tục, ta có thể chứng minh $T$ bị chặn, tức là cần chứng minh có $C>0$ sao cho
$$\|T(x)\| \leqslant C\cdot \| x\|$$
với mọi $x$. Nếu $y = T(x)$ thì rõ ràng $|y_n | = (n^2/(n^2+2)) |x_n| \leqslant |x_n|$ và đó có thể lấy $\|y\| \leqslant \|x\|$. Vậy có thể lấy $C=1$.
Ta sẽ chứng minh $\|T\| = 1$. Theo trên, ta có $\|T\| \leqslant 1$. Xây dựng dãy $x^{m}$ như sau:
$$x^{(m)} = (0,0 \dots 1, 0\dots)$$
ở đó, $1$ nằm ở vị trí thứ $m$. Rõ ràng, $\|x^{(m)}\| =1$ và $T(x^{(m)}) = (0,0 \dots m^2/(m^2+2), 0\dots)$. Ta suy ra
$$\|T(x^{(m)})\| = m^2/(m^2+2) \to 1$$
khi $m\to \infty$. Vậy
$$\|T\| = \sup\{\|T(x)\| \colon \|x\| \leqslant 1\} \geqslant \|T(x^{(m)})\| = m^2/(m^2+2) \to 1$$
Vậy ta kết luận $\|T\| = 1$.
Để tính phổ của $T$, nhận xét rằng $n^2/(n^2+2)$, $n \geqslant 1$ là các giá trị riêng của $T$ (tương ứng với vector riêng nao?). Vậy phổ của $T$ bao gồm các giá trị riêng đó. Tuy nhiên $1$ cũng nằm trong phổ của $T$. Thật vậy, ánh xạ ngược
$$(I - T)^{-1} (y) = \{(2/(n^2+2)^{-1}y_n\}, \quad y=(y_n)$$.
là ánh xạ tuyến tinh nhưng không bị chặn (chứng minh gần như trên, để ý rằng $(2/(n^2+2)^{-1}$ tăng ra vô hạn). Vậy phổ của $T$ bao gồm cả $1$.
Bây giờ, nếu $\lambda \not\in \{1, 1/3, 2/3, \dots n^2/(n^2+2) ,\dots \}$ thì rõ ràng $\epsilon = \inf \{\lambda - \{1, 1/3, 2/3, \dots n^2/(n^2+2) ,\dots \}\} > 0$ và $\lambda I - T$ khả nghịch:
$$(\lambda I - T^{-1} (y) = \{(\lambda - n^2/(n^2+2))^{-1} y_n, \quad y = (y_n)$$
với $\|\lambda I - T^{-1} (y)\| \leqslant \epsilon^{-1} < \infty$, (do đó, nó bị chặn).
Kết luận: phổ của $T$ là $ \{1, 1/3, 2/3, \dots n^2/(n^2+2) ,\dots \}$.
